Komplexe Differenzierbarkeit

24.09.2012, 20:50	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Differenzierbarkeit Meine Frage: Hi Leute. Hab mal ne Teilaufgabe gemacht und möchte wissen, ob das überhaupt stimmt. Entscheiden Sie jeweils, an welchen Stellen die folgenden Funktionen komplex differenzierbar sind und bestimmen Sie an diesen Stellen die komplexe Ableitung. $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{\overline{z}}{\|z\|^2} , z\in \mathbb C, z\neq 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habs einfach mit der Cauchyrimmanchse Diffgleichung gemacht und da stellte sich nach relativ langer Rechnung heraus, dass die Funktion nur bei X=0, y=0 komplex diffbar ist, was aber nicht geht, weil z ungleich 0... sau komisch. Was bekommt ihr heraus?
24.09.2012, 21:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Differenzierbarkeit Hallo, ich würde einfach kürzen mfg, Ché Netzer PS: Die entsprechenden Differentialgleichungen wurden natürlich nicht nach einem Cauchyrimman benannt sondern nach Cauchy und Riemann und heißen daher Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
24.09.2012, 22:59	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich da einfach z kürzen oder was meinst du? wenn ja warum? und hehe ja cauchy riemannsche diffgleichungen hab mich nicht mehr ganz daran erinnert haha.
24.09.2012, 23:01	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ , aber etwas ähnliches. Kannst du $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert^2 \end{eqnarray}$ noch irgendwie anders darstellen?
24.09.2012, 23:04	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah du meinst \|(x+iy)*(x-iy)\|?
24.09.2012, 23:06	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Betrag kannst du dabei weglassen, aber ja, es ist $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert^2=z\bar z \end{eqnarray}$ . Und dann dürfte klar sein, was du kürzen kannst.
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24.09.2012, 23:19	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja ich hab vollkommen vergessen, was der Betrag bei komplexen Zahlen ausmacht.. eieiei danke dir
25.09.2012, 15:21	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist also überall holomorph (überall komplex diffbar) stimm das? Ne andere Frage bezüglich Cauchy Riemann DFgleichungen: Wenn bei der Funktion der Imaginäre Teil z.B. f(x)=a-ib negativ ist, dann ist natürlich v(x,y) nicht einfach =b, sondern =-b oder? Dieses Minuszeichen vor dem "i" gehört ja dann zum Imaginären v(x,y) dazu oder?
25.09.2012, 16:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wobei ich entweder sagen würde, sie ist "überall komplex differenzierbar", oder nur "holomorph". Und ja, das Minus gehört auch zum Imaginärteil. Der ist ja alles, was mit dem $\begin{eqnarray} \mathrm i \end{eqnarray}$ multipliziert wird und dazu gehört hier ja auch das Minus. Sonst wäre $\begin{eqnarray} z\mapsto\bar z \end{eqnarray}$ ja holomorph Ach ja, du kannst auch $\begin{eqnarray} -a+\mathrm ib \end{eqnarray}$ untersuchen, wenn dir das Minus im Realteil lieber ist. An der Differenzierbarkeit als Eigenschaft ändert das ja nichts.
25.09.2012, 17:25	XHotSniperX	Auf diesen Beitrag antworten »
jep habs gemerkt danke

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