Volumenelement

24.09.2012, 23:47	wubi	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenelement Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \mathrm{x}(\mathrm{u}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} D\subseteq R^k, Z=R^n, k\le n \end{eqnarray}$ die Parametergleichung einer Hyperfläche mit entsprechenden Eigenschaften. Das Volumenelement ist $\begin{eqnarray} \mathrm{d}V = \sqrt{g_{ij}} \mathrm{d}u_1 \ldots \mathrm{d}u_n = \left\| \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u_1} \wedge\ldots\wedge\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u_n} \right\|\mathrm{d}u_1 \ldots \mathrm{d}u_n. \end{eqnarray}$ Ist diese Formel korrekt? Ferner ergibt sich z.B. $\begin{eqnarray} \|e_{12}\| = \|e_1\wedge e_2\|=1 \end{eqnarray}$ für die Einheitsvektoren aus dem umgebenden euklidischen $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ . Was tut man, wenn dieser auch noch gekrümmt sein soll? Dann ist doch eigentlich nur $\begin{eqnarray} \|e_{12}\| = \|e_1\|\|e_2\|\|\sin \varphi\| \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} e_1 e_2 = \|e_1\|\|e_2\| \cos \varphi = \tilde{g}_{12}. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider keine.
26.09.2012, 20:28	wubi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenelement Oben in der Formel muss der Index von 1 bis k anstelle von 1 bis n laufen, die Determinante bei der Metrik hab ich auch vergessen. Nein, ich wollte mich nicht in A4-Seiten lange Koordinatenrechnungen stürzen. Es musste einfacher gehen. Es geht einfacher. Überraschend einfach, wenn nicht gar schwindelerregend einfach. Es ist nämlich $\begin{eqnarray} \mathrm{det}(g) = \mathrm{det}(J^TJ) = \mathrm{det}(J)^2. \end{eqnarray}$ Von der Determinante wissen wir jedoch, dass $\begin{eqnarray} \mathrm{det}(\mathbf{a}_1,\ldots\,, \mathbf{a}_k) e_1\wedge\ldots\wedge e_k = \mathbf{a}_1\wedge\ldots\wedge \mathbf{a}_k \end{eqnarray}$ . Und die Formel $\begin{eqnarray} \mathrm{d}V = \sqrt{\mathrm{det} g}\, \mathrm{d}u_1\ldots \mathrm{d}u_k \end{eqnarray}$ ist ja in der Literatur zu finden. Schreibt man diese jetzt als $\begin{eqnarray} \mathrm{d}V = \|\mathrm{det}J\|\mathrm{d}u_1\ldots \mathrm{d}u_k \end{eqnarray}$ so ist klar, dass es sich hier nur um einen Spezialfall des Transformationssatzes handelt. Ich frage mich nun, was eigentlich der genaue Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \int_B \sqrt{\mathrm{det} g}\mathrm{d}\, u_1 \mathrm{d}u_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_H \sqrt{\mathrm{det} g}\mathrm{d}\, u_1\wedge \mathrm{d}u_2 \end{eqnarray}$ ist. Mir ist schon klar, dass ein Parallelogramm allgemeiner ist, als ein Rechteck, die Basis muss nicht mehr orthonormal sein. Aber B ist doch normalerweise ein Bereich in dem die Parameter variieren. Das Dachprodukt ergibt doch dort gar keinen Sinn.
26.09.2012, 21:00	wubi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenelement Oh weh, die Jacobi-Matrix gibt es ja nur im Fall $\begin{eqnarray} D\subseteq R^n, Z=R^n. \end{eqnarray}$
26.09.2012, 21:29	wubi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumenelement Edit: Die Matrix gibt es schon, aber die Determinante ist für diesen Fall nicht definiert. Bei en.wikipedia.org/wiki/Gramian_matrix steht aber die Formel, mit der sich die Umformung für das Volumenelement letztendlich verifizieren lässt.

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