Arithmetische Reihe einer aritmetischen Reihe

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fermare Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetische Reihe einer aritmetischen Reihe
Wie kann ich das mathematisch ausdrücken, wenn ich aus der arithmetischen Reihe

1 3 6 10 15 21 ...... die Reihe

1 4 10 20 35 56 ...... und weiter

1 5 15 25 45 80 ...... usw.bilde,

in dem ich zu jedem Glied der Arithmetischen Reihe das nächst Glied addiere, etc.
Ich denke, dass es nicht nur sehr schöne, sondern ebenso spannende Reihen sind.
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Für die erste Folge gilt (Glieder mit a1, a2,... bezeichnet):
mit Startwert die rekursive Bildungsvorschrift


und die explizite Bildungsvorschrift ("kleiner Gauß"):



Für die zweite Folge (Glieder b1,b2,...) gilt wieder mit b_1=1


und explizit



Die Summenformel für höhere Potenzen kann man nachschauen oder z.B. mittels Pascalscher Identität herleiten.
Für deine dritte Folge spare ich mir das Augenzwinkern (nach der 15 hast du dich vertippt, da kommt die 35)

Edit: Es geht doch hübsch weiter, z.B.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Da es ja um den Interessantheitsgrad geht Big Laugh



Die erste Folge hatte ja die explizite Darstellung

Vielleicht geht das ja so weiter und die dritte hätte die Darstellung

Das ist schon sehr interessant meiner Meinung nach. Hat wohl was mit den Gesetzen zur Addition von zwei Binomialkoeffizienten zu tun (kenne mich damit aber nicht so gut aus).

Lg
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hat man davon, wenn man so bequem auf die Summenformeln zurückgreifen kann, anstatt sich Gedanken um einen hübschen Lösungsweg zu machen Hammer

Mir will aber auch keine schöne Herleitung dieser Identität der Summe über die Binomialkoeffizienten gelingen (ich schiebs auf die Uhrzeit Augenzwinkern ).
Also bleibt nur noch die vollständige Induktion - wenn ich das richtig überblicke müsste das fix gehen mithilfe der bekannten Identität (n+1 über k+1)=(n über k) + (n über k+1)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fragen über Fragen
wenn ich das richtig überblicke müsste das fix gehen mithilfe der bekannten Identität (n+1 über k+1)=(n über k) + (n über k+1)

So ist es, wobei man das mit der vorliegenden Symbolik für n+k statt n verwendet, d.h.

.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Summe



muss man sich als eine Reihe von Dominosteinen vorstellen... Den Anstoß gibt die Addition von 0 in der Form ... Dann wird daraus





usw. usf., bis dann am Ende eben nur mehr übrigbleibt... Augenzwinkern
 
 
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

1 4 10 20 35 56 ...... oder wie Ihr es darstellt. Danke dafür

Ist aber nicht einfach so ohne Grund spannend für mich.
Ich nenne diese Reihe die Kubikreihe, da diese Reihe mit 6 Multipliziert und mit n+1 addiert
also
n(n+1)(n+2)+(n+1) immer eine Kubikzahl (n+1)^3 ergibt. Das finde ich einfach ein unglaublich erstaunliches Phänomen, dass die Kubikzahlen mit Hilfe von dieser zweifachen arithmetischen Reihe beschrieben werden können. Was natürlich umgekehrt genauso eingesetzt werden kann.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Auf diese Weise hatte ich versucht Fermat zu beweisen, bin aber, siehe meine vorherige Frage über meine Schlampigkeit und Verwirrtheit gestolpert, die dann auftaucht, wenn ich zu viele Zahlen sehe. Hab da seit der Schulzeit so eine Art Zahlenlegastenie.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, dass dieser mein Ansatz irgendwie weiter geführt wird, bis er entweder als unmöglich erkannt wird oder zum Erfolg führt. Ich kann das leider nicht da drehen sich mir die Zeichen im Kopf und ich kann nicht mehr weiter. Danke Euch nochmal herzlich.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fermare
Ich hoffe, dass dieser mein Ansatz irgendwie weiter geführt wird, bis er entweder als unmöglich erkannt wird oder zum Erfolg führt. Ich kann das leider nicht da drehen sich mir die Zeichen im Kopf und ich kann nicht mehr weiter. Danke Euch nochmal herzlich.

Daher auch meine Namenswahl Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber Fermat ist ja nun out, da bereits 1994 durch Andrew Wiles et al. bewiesen... Big Laugh

Wie wär's mit was anderem, wo man die Lösung noch nicht kennt? Z.B. das hier: Tritt für die rekursiv durch



definierte Folge stets einmal die 1 unter den Folgegliedern auf, unabhängig davon, welche positive ganze Zahl man als Startwert wählt? Eine beweisbare Antwort darauf würde in der Fachwelt wie eine Bombe einschlagen... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der gute Collatz - hat mich auch immer fasziniert. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dieses Problem kursiert unter den verschiedensten Bezeichnungen und sogar die Formulierung ist uneinheitlich... Anders als beim "Großen Fermat" hätte hier jedenfalls auch ein Hobbymathematiker eine - wenn auch sehr kleine - Chance auf Erfolg, nämlich dann, wenn er (z.B. mithilfe eines entsprechenden Computerprogramms) einen Startwert findet, für den die Folge in einen Zyklus hineinläuft, der die 1 nicht enthält... Augenzwinkern
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass Fermats großer Satz bewiesen ist ist mir bewusst . Von Miles und Taylor, wenn ich mich nicht irre. Doch kann mir jemand erklären, wie man diesen Beweis verstehen kann? Das war sicherlich nicht die Art und Weise, die Fermat meinte, als er schrieb, er könne den Satz beweisen. So dachte ich es könne einen verständlichen Beweis geben. Da ich die Herangehensweise über die Kubikreihe noch nie gesehen hatte, da ich auch noch nie von dieser Reihe hörte, dachte ich es wäre einen Versuch wert.
Aber ich bin kein Profi und daher kann ich es natürlich übersehen haben. Kannte schon jemand die von mir erwähnte Kubikreihe n(n+1)(n+2)/6 welche ich aus dem Gaußschen Zahlenstern über die Zahl 6 heraus las?
fermare Auf diesen Beitrag antworten »



Das klingt ja spannend, aber wie ist diese Gleichung zu verstehen?

Sind das zwei Ergebnisse für die gleiche Folge, je nachdem, ob xn gerade oder ungerade ist?
Wo findet man da näheres? Und lässt sich diese Folge auch als Reihe darstellen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fermare
Das war sicherlich nicht die Art und Weise, die Fermat meinte, als er schrieb, er könne den Satz beweisen. So dachte ich es könne einen verständlichen Beweis geben. [...] Kannte schon jemand die von mir erwähnte Kubikreihe n(n+1)(n+2)/6 welche ich aus dem Gaußschen Zahlenstern über die Zahl 6 heraus las?

Wirklich erfrischend, dein naiver Glaube, mal eben schnell einen allgemein verständlichen Beweis des großen Fermats zu entwickeln. Aber ich wünsche dir viel Erfolg, ich würde ihn nämlich auch mal gern in der "5-Minuten-Version" verstehen wollen. smile
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja das mit Fermat war natürlich Andrew Wiles. Hatte ich überlesen und mich falsch erinnert.
Heißt es dass es keinen kürzeren verständlichen Beweis geben kann und darf, nur weil man ihn noch nicht gefunden hat? Oder kanntest Du Z.B.: die Kubikreihe? Ich habe auch einen Ellipsenzirkel Konstruiert, den es noch nicht gab. Es gibt immer wieder etwas erstaunlich neues, das erstaunlich einfach und logisch ist. Verstehst Du den Beweis in der Marathon-Version
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fermare
Das klingt ja spannend, aber wie ist diese Gleichung zu verstehen?

Sind das zwei Ergebnisse für die gleiche Folge, je nachdem, ob xn gerade oder ungerade ist?
Wo findet man da näheres? Und lässt sich diese Folge auch als Reihe darstellen?


Ich rechne dir am besten ein Beispiel vor, das du dann hoffentlich anhand der Formel nachvollziehen kannst... Ich habe dafür das folgende Programm verwendet, das auch zeigt, wie man das "manuell" machen könnte:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
ulam:=proc(x0::posint)
     local m:=x0,n:=0,s:=x0,x:=x0;
     do
       n:=n+1;
       x:=((x mod 2)*(2*x+1)+x)/2;
       s:=s,x;      if x>m then m:=x end if;
       if x=1 then return [s],n,m end if
     end do
end:


und dieses liefert mit Startwert x0:=7 dann

code:
1:
2:
ulam(7);
        [7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1], 11, 26

d.h., die Folge erreicht nach 11 Iterationen den Wert 1, und erreicht zwischendurch den Maximalwert 26...

Edit: Und HAL hat natürlich recht: Der Glaube, man könne hier noch etwas entdecken, was Generationen der besten Mathematiker bislang übersehen haben, ist schon etwas sehr naiv... Und nein, ich versteh Wiles' Beweis im Detail natürlich nicht, aber das gelingt ohnehin nur ganz wenigen auf dieser Welt, also bin ich nicht traurig deswegen... Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@fermare

Ich kannte die Summenformel

,

ja. Und ich finde es grundsätzlich etwas befremdlich, wenn Leute ihr Ego via "Ich, ich, ich habe was tolles Neues in der Mathematik gefunden/erfunden." breit vortragen. Ein wenig mehr Demut, und vor allem Recherche, ob es denn wirklich neu ist, ist angebracht.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fermare

Aber ich bin kein Profi und daher kann ich es natürlich übersehen haben. Kannte schon jemand die von mir erwähnte Kubikreihe n(n+1)(n+2)/6 welche ich aus dem Gaußschen Zahlenstern über die Zahl 6 heraus las?


Ich wollte niemanden kränken, aber ich sehe, dass es Dir nicht gefällt, dass ich als Hobbymathematiker hier meine Fragen zu klären versuche, da Du mich immer wieder in die Schranken weist. Ich habe vollste Hochachtung vor der Mathematik und auch vor Deinen Fähigkeiten.
Dass ich ohne die notwendige mathematische Bibliothek auf die verschiedensten Dinge selbstständig komme, kommt zwar sicherlich nicht an Dein mühsam erworbenes Wissen heran, mich deshalb als respektlos zu erachten, wo ich mich mit Fragen an Euch wende, finde ich verletzend. Aber bitte lassen wir das. Bitte.
Ich versuche lediglich etwas zu verstehen und das was ich zu verstehen glaube zu verifizieren. Sollte meine Ausdrucksweise nicht dem entsprechen, was Du gewöhnt bist und Dich verletzen, so bitte ich um Verzeihung. Dass meine Muttersprache Österreichisch und nicht deutsch ist hast Du ja bereits festgestellt
Und ja ich bin naiv und es freut mich sogar ein wenig, dass ich den Glauben um eine Möglichkeit nicht verloren habe oder aufgebe, wie man will. das hält mich neugierig und am Leben nach meiner Krebs OP
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Und ach ja, ich bin ein wenig stolz darauf, dass ich manche Dinge entdecke, die für mich neu faszinierend und unglaublich sind. Vor allem dann, wenn ich sie im Netz, und das ist leider meine einzige schnelle Quelle, nicht finden kann und ich dann drauf komme, dass dieser oder jener Mathematiker mit Namen das gleiche entdeckt hat wie ich gerade eben und ich sozusagen unbewußt seinen Wegen folge. Verzeiht bitte, wenn man es ein wenig aus meinen Wortwahlen heraus liest. Ich werde versuchen in Zukunft diesen Stolz aus meinen Formulierungen zu nehmen. Sollte es mir denn gestattet sein, weiterhin meine auftauchenden Fragen in diesem Forum zu stellen.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Mystic danke für Deine Antwort, aber ich verstehe das noch nicht.
Ich bin kein Computermensch, sondern nur ein user
Da verstehe ich ja schon die Problematik nicht.
Findet man da im Netz irgend etwas erläuterndes? Oder überhaupt die Fragestellung etwas anders formuliert. Es wurde ja erwähnt, dass man sich in der Formulierung des Problems nicht ganz einig ist.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht 100% klar, ob das oben jetzt an HAL oder mich gerichtet war (oder beide?)... Ich für meinen Teil möchte nur prinzipiell klarstellen, dass ich nichts gegen Hobbymathematiker habe, sondern im Gegenteil glaube, dass diese Art der Freizeitbeschäftigung gegenüber vielen Alternativmöglichkeiten, die ich jetzt nicht im einzelnen aufzählen möchte, klar vorzuziehen ist...

Ich habe auch schon in einem anderen Thread Euler's Beweis für die Hochzahl 3 in der Fermatschen Vermutung für dich ausgegraben und auch hier versucht, dich auch für Hobbymathematiker weit interessantere und vor allem bis dato ungelöste Problem wie das Collatz-Problem zu lenken...

Das Einzige was ich allerdings auch kritisiere, ist gerade bei Hobbymathematikern oft anzutreffende Haltung, dass sie etwas entdeckt hätten, das bislang noch niemanden aufgefallen war... Dies ist nun zwar nicht gänzlich ausgeschlossen und ich könnte jetzt sogar einzelne Beispiele dafür nennen, insgesamt gesehen ist es aber sehr, sehr unwahrscheinlich... Die richtige Haltung, wenn man etwas für sich entdeckt hat,
ist es, einmal davon auszugehen, dass dies schon bekannt ist, was dann auch mit fast 100% Gewißheit zutrifft... Die eigene Leistung, das selbstständig "wiederentdeckt" zu haben, wird ja dadurch nicht kleiner...

Und ja, betreffend das Collatz-Problem, schau dir mal nebenstehenden Link an, und stell dann gezielt Fragen, wenn etwas unklar ist bzw. auch zu meinem Beispiel oben...

Edit: Lass dich nicht irr machen dadurch, dass in anderen Versionen des Collatz-Problems bei einem ungeraden x zuerst 3x+1 gebildet und erst dann im nächsten Folgenglied halbiert wird... Ich habe dies beides zusammengezogen, wie es auch oft gemacht wird und wie mir das auch logisch erscheint... Augenzwinkern
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link Mystic.
Das war an Hal gerichtet. Den Beisatz der Naivität halte ich schon aus und fühle mich dadurch sogar geehrt, danke. Dass Fermats großer Satz natürlich seiner "Einfachheit halber ein Thema ist das verführt, ist nur zu verständlich", und für mich ist der Satz schon alleine durch die Tatsache bewiesen, 1+1=1+1 ist und nicht 2. Zwei ist eine willkürliche Übereinkunft und überschreitet die Individualitätsgrenze der Zahlen, ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass sich zwei Objekte nur durch großen Energieaufwand oder Verlust zu einem anderen eigenständigen verbinden lassen. Dieser Energieverlust manifestiert sich in der Abweichung von den natürlichen Zahlen bei n> 2. Hier ist die Mathematik nur in der Mengenlehre wirklich präzise (1+1)= 2 Der Verlust der Klammer zeigt dies deutlich. Dass diese Geschichte im Eindimensionalen ( als Idee) noch funktionieren kann und im zweidimensionalen noch manchmal plan- bzw darstellbar ist, ist ebenso verständlich. Die Unmöglichkeit dieser energiefreien bzw verlustfreien Verschmelzung in der Realität setzt sich eben auch hier in der Mathematik als Naturgesetz wieder ganz eindeutig durch. Das soweit zum Thema präzise Formulierungen. Hier entsteht eine Zweideutigkeit der Zahlen, als Menge und Individuum, die als selbstverständlich angenommen wird, es aber nicht ist.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Dank Euch vielmals für den Hinweis auf das Collatz-Problem das ist ja echt spannend und lustig zugleich. Wau absolut genial diese Reihe. Fasziniert mich total. Schön Schön schön.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich hältst du mich für einen Spielverderber. Aber ich finde es doch auch schön, wenn man irgendwelche Dinge (nicht nur in der Mathematik) für sich selbt entdeckt, vielleicht sogar ohne irgendwelche Mithilfe oder Anregung anderer. Aber dann muss man doch nicht gleich ungeprüft hinausposaunen, dass man der Erstentdecker ist - das mag bisweilen vorkommmen, auch bei Hobbymathematikern, aber es ist eben doch äußerst selten.

Und diese Unterstellung

Zitat:
Original von fermare
aber ich sehe, dass es Dir nicht gefällt, dass ich als Hobbymathematiker hier meine Fragen zu klären versuche

weise ich auf schärfste zurück: Ich habe deutlich gesagt, was mir missfällt - und da war nicht dabei, dass du hier deine mathematischen Fragen klären willst.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben, so scheint es mir, beide nicht ganz sanft oder bedacht formuliert. Manches mal gehen eben die Emotionen mit einem durch, wenn ein wunder Punkt getroffen wird. Ich habe nirgendwo geschrieben, dass ich der Erstentdecker bin, sondern nur, das ich etwas entdeckt habe und eine Bestätigung einen Abgleich suche, was ich in meinen Nachfragen Oder? Stimmt das etc. zum Ausdruck gebracht habe. Es gibt aber nichts zur Sache. Ich habe mich sichtlich für Dich unverständlich ausgedrückt, was Dir das Gefühl gab Dich verteidigen zu müssen und Du hast mich darauf hin ziemlich schroff in meine Schranken gewiesen. So habe ich es zu mindest empfunden und habe mich ebenfalls verteidigt. Da ich nicht beabsichtigte irgendjemanden zu beleidigen, zu verletzen oder respektlos zu behandeln , aber auch mit mir die Emotionen ihre Streiche spielten, bitte ich nochmals um Verzeihung dass ich mich unverständlich und unpräzise oder sichtlich überheblich wirkend ausgedrückt habe und ich hoffe, wir können es dann dabei belassen, ohne dass bei Dir ein bitterer Nachgeschmack übrig bleibt.
fermare Auf diesen Beitrag antworten »
Collatz
Ja hallo
Der Collatz ist wirklich etwas besonderes, aber nicht ganz so besonders wie der Fermat. Denke Ihn soweit analysiert zu haben, dass ich ihn für gelöst halte. Wo kann man denn da seine Arbeit prüfen und im Falle veröffentlichen lassen? Hier ist leider nicht Platz für meine großformatigen Darstellungen.
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