Differentialrechnung

25.09.2012, 15:39

VTT1989

Differentialrechnung

Hallo, bei dieser folgenden Aufgabe habe ich Schwierigkeiten :

ln(2x+1) hoch 2/3

meine Berechnung ist:

u=v hoch 2/3
v=lnw
w=2x+1

u`(v) = 2/3v
v`(w)=1/w
w`(x)= 2

dann--> 2/3v * 1/w *2

---> 2/3* ln(2x+1) * 1/2x+1 *2

....aber das Ergebniss muss 4/6x +3 sein......

Ich hoffe, ihr könnt mir den Fehler zeigen :-)

Danke im Vorraus

25.09.2012, 16:12

HAL 9000

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Klammerschlamperei hat Folgen...
Geht es um $\begin{eqnarray*} (\ln(2x+1))^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ oder um $\begin{eqnarray*} \ln\left( (2x+1)^{\frac{2}{3}} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Laut Musterergebnis wohl eher letzteres, während du dich ersterem gewidmet hast.

25.09.2012, 16:21

VTT1989

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RE: Klammerschlamperei hat Folgen...
eigentlich heißt die aufgabe ln( die dritte wurzel von (2x+1)², ich habe das dann umgeformt in ln(2x+1) hoch 2/3

25.09.2012, 16:23

HAL 9000

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Womit der schwarze Peter dann eindeutig bei dir liegt.

25.09.2012, 16:27

VTT1989

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was habe ich den genau falsch gemacht

25.09.2012, 19:08

HAL 9000

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Na das war doch oben hinreichend deutlich. Falls nicht, dann nochmal ausführlich:

Zitat:

Original von VTT1989
eigentlich heißt die aufgabe ln( die dritte wurzel von (2x+1)²

Was umgeformt zu $\begin{eqnarray*} \ln\left( |2x+1|^{\frac{2}{3}} \right) \end{eqnarray*}$ führt, und diese Funktion hast du oben bei der Ableitung nicht betrachtet, sondern eben leider die andere.

26.09.2012, 14:13

VTT1989

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dann ist u= v
v=lnw
w=(2x+1) hoch 2/3

umgeformt: u`=1
v`=1/w
w=2/3(2x+1) hoch -1/3 oder??

26.09.2012, 14:17

HAL 9000

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In der letzten Zeile redest du von $\begin{eqnarray*} w' \end{eqnarray*}$ ? Da hast du noch die abschließende innere Ableitung von $\begin{eqnarray*} (2x+1) \end{eqnarray*}$ vergessen.

In Anlehnung an dein Eröffnungsposting wäre wohl auch

$\begin{eqnarray*} u &=& \ln(v)<br /> v &=& w^{2/3}<br /> w &=& 2x+1 \end{eqnarray*}$

passender gewesen.

Ich hätte allerdings vor einer solchen unnötig langen Kettenregelorgie besser den abzuleitenden Logarithmenausdruck vereinfacht.

26.09.2012, 14:27

VTT1989

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Gut, dann ist w`2/3(2)hoch -1/3

es geht weiter:

1v * 1/w *2/3(2) hoch -1/3

=1* ln(2x +1) hoch 2/3 * 1/(2x+1) hoch 2/3 *2/3(2) hoch -1/3

ist soweit alles richtig? Jetzt komme nicht mehr weiter...

26.09.2012, 14:30

HAL 9000

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Konzentrier dich mal bitte: Was hat denn der Logarithmus da noch zu suchen, der ist bei keiner der Ableitungen (weder innere noch äußere) mehr dabei!

26.09.2012, 14:42

VTT1989

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oh, ich habe deinen editierten Beitrag nicht mehr gelesen

also: wenn u=ln(v) u`= 1/v
v` = 2/3w
w`= 2

26.09.2012, 14:46

VTT1989

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nun: 1/v * 2/3w * 2 ..... muss ich für v = w hoch 2/3 einsetzen?

26.09.2012, 15:18

HAL 9000

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Herrje, ist es denn so schwierig, sich mal 10 Minuten zu konzentrieren, statt einen ganzen Tag lang zu stümpern?

$\begin{eqnarray*} u = \ln(v) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd v} = \frac{1}{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v =w^{2/3} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd v}{\dd w} = \frac{2}{3}w^{-1/3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w = 2x+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd w}{\dd x} = 2 \end{eqnarray*}$

Das ergibt die Gesamtableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x} = \frac{\dd u}{\dd v} \cdot \frac{\dd v}{\dd w} \cdot \frac{\dd w}{\dd x} = \frac{1}{v} \cdot \frac{2}{3}w^{-1/3}\cdot 2 \end{eqnarray*}$

und dann einsetzen und vereinfachen.

P.S.: Ich plädiere nach wie vor für den Weg über den vereinfachten Logarithmus

$\begin{eqnarray*} \ln\left( |2x+1|^{\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3} \ln|2x+1| \end{eqnarray*}$ .

26.09.2012, 15:26

VTT1989

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ich danke dir! wenn ich bei 1/v für v = w hoch 2/3 eingeben muss, steht dann 1/w hoch 2/3..... muss ich dann für w auch 2x+1 einsetzen?

26.09.2012, 16:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von VTT1989
ich danke dir! wenn ich bei 1/v für v = w hoch 2/3 eingeben muss, steht dann 1/w hoch 2/3.

Fass das erstmal noch mit dem nachfolgenden $\begin{eqnarray*} w^{-1/3} \end{eqnarray*}$ zusammen, da kommt es noch zu (für den Profi nicht) überraschenden Zusammenfassmöglichkeiten - dann erst einsetzen. Und natürlich, zum Schluss müssen alle u,v,w verschwunden sein, lediglich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat noch was im Endergebnis zu suchen.

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