Hilbertraum L^2: Operator - Seite 2

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chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

@Che Netzer:
Zitat:
Müssen die Polstellen denn im Innern des Intervalls liegen, damit die Funktion nicht quadratisch integrierbar ist?


Wo die Polstellen bzgl eines Intervalls liegen, ist für die quadratische Integrierbarkeit mit Sicherheit irrelevant.

Zitat:
Zunächst einmal fehlen dir noch ein paar Zahlen für , für die die Inverse nicht wohldefiniert ist.


Es ist immer dann nicht wohldefiniert, wenn . Das würde nat auch für alle diese Stellen zutreffen, für die . Aber ausserdem noch etwas?

@Mazze: einverstanden Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, wo die Polstellen liegen, ist völlig egal.
Aber kann es auch z.B. eine an der Stelle Eins geben? Oder an der Stelle Null? Welche Werte müsste dazu annehmen und für welches Intervall, aus dem kommt, ist dann nicht wohldefiniert?
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »



Zitat:
eine an der Stelle Eins geben?


und , also

Zitat:
Oder an der Stelle Null?


und , also

Aber das ist doch genau mit abgefangen, oder worauf willst du hinaus?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar , aber die Funktion ist ja auf nicht quadratisch integrierbar.
D.h. für bildet die Inverse überhaupt nicht nach ab.
Also ist schonmal ein Teil des Spektrums, nach unserer Vermutung sogar das gesamte Spektrum.
Dass dieses nicht sein kann, sollte klar sein, da dieses Intervall nicht kompakt ist. Ich hätte auf meiner Homepage noch eine Zusammenstellung einiger Eigenschaften des Spektrums, vielleicht hilft dir das.

Naja, jetzt wollen wir zeigen, dass in liegt.
Dass der Operator auf dem gesamten Raum definiert ist, ist durch die Darstellung klar, auch dass er nach abbildet (das war ja nur für nicht der Fall).
Jetzt wollen wir zeigen, dass diese Inverse auch beschränkt ist.
Nutze dazu, dass einen positiven Abstand zu hat.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Oder meinst du mit

Zitat:
für welches Intervall, aus dem kommt, ist dann nicht wohldefiniert?


das Intervall ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das Intervall ergibt nicht viel Sinn, denn ist nur irgendeine Variable.

(aber das mit stimmt schon, siehe letzter Beitrag)
 
 
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt wollen wir zeigen, dass diese Inverse auch beschränkt ist.Nutze dazu, dass einen positiven Abstand zu hat.




Die Inverse ist also in jedem Fall

für

und

für

, aber nun ist doch eine beliebige Zahl außer
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da bin ich oben durcheinander gekommen.
Für hat einen positiven Abstand zu . Daher kannst du nach unten durch eine positive Konstante abschätzen.
Zeige damit, dass es ein gibt, so dass


Du solltest auch beachten, dass nicht fest ist, d.h. die Bestimmung einer Inversen "für " ergibt nicht viel Sinn.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir nun nochmal meine Mitschriften etc zu Operatoren durchgeschaut. Ich möchte nun gerne einmal resumieren, um den Faden nicht vollends zu verlieren:

Zitat:
Das Spektrum eines Operators A ist die Menge aller Elemente des Zahlenkörpers, für die die Differenz des Operators mit dem -fachen der identischen Abbildung nicht (beschränkt) invertierbar ist.


Unser Operator ist linear, wenn mich nicht alles täuscht.

Für lineare Operatoren gilt:

(1) Ein linearer Operator heißt stetig in , wenn für jede Folge die Bildfolge gegen strebt.

(2) Ist A stetig in einem Punkt, so ist er stetig in allen Punkten .

(3) Ein linearer Operator ist beschränkt er stetig ist.

Der invertierte Operator ist



Ziel ist es also nun alle zu finden, für die obiger Ausdruck nicht beschränkt ist. Das haben wir durch die Eingrenzung (Wenn ich es richtig verstehe, haben wir dort gezeigt, dass der Operator nicht stetig ist und daher nicht beschränkt und die zugehörigen daher als Spektrum in Frage kommen).
Nun geht es darum zu prüfen, ob dieses Spektrum vollständig ist, d.h. man prüft, ob obiger Ausdruck beschränkt ist für ale .

Ist das richtig so weit?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissan
Der invertierte Operator ist



Ziel ist es also nun alle zu finden, für die obiger Ausdruck nicht beschränkt ist. Das haben wir durch die Eingrenzung (Wenn ich es richtig verstehe, haben wir dort gezeigt, dass der Operator nicht stetig ist und daher nicht beschränkt und die zugehörigen daher als Spektrum in Frage kommen).
Nun geht es darum zu prüfen, ob dieses Spektrum vollständig ist, d.h. man prüft, ob obiger Ausdruck beschränkt ist für ale .

Ist das richtig so weit?

Hier ein paar Einwände:
Diese Darstellung von macht erst einmal nur Sinn, wenn das Bild auch in liegt.
Wir haben gezeigt, dass dies für nicht der Fall ist, d.h. für diese ist nicht invertierbar, denn sonst hätte die Inverse obige Form. (z.B. liegt nicht im Bild)
Damit haben wir .
Jetzt untersuchen wir, ob für eine Inverse in hat. Dass der inverse Operator wohldefiniert ist, haben wir gezeigt, das ist nur für nicht der Fall.
Jetzt müssen wir nur noch untersuchen, ob dieser inverse Operator auch beschränkt (stetig) ist. Wenn das für alle der Fall ist, dann ist .
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Für festes und bel. gibt es natürlich immer eine Konstante
Wenn man das jetzt noch weiter begründen musst, warum das so ist, komm ich auch nicht weiter, aber bis dahin hab ichs jetzt erstmal...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, da würde ich noch Betragsstriche beim Bruch ergänzen; außerdem gilt das nur für .
Das dürfte dann aber auch als klar gelten, denn dann ist ja auch nach unten durch eine positive Konstante beschränkt.

Dann zeige jetzt mal die Beschränktheit der Inversen, also
(für )
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann zeige jetzt mal die Beschränktheit der Inversen, also (für )


...wenn sich das von unterscheidet, kann/seh ich das offenbar nicht. Genau das, denke ich, wurde gerade gemacht o_O

Der einzige Unterschied zwischen


und



ist die Normation. Aber inwiefern die sich jetzt in der Beschränktheit unterscheiden sollen ist mir nicht klar...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Abschätzung ist schon der entscheidende Schritt, um die Beschränktheit zu zeigen, aber wirklich sofort folgt das ja noch nicht.

Naja, jedenfalls haben wir jetzt auch das Spektrum mit vollständig bestimmt.
Damit haben wir übrigens auch gezeigt und brauchen nicht mehr die Funktionen zu betrachten.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit haben wir übrigens auch


, weil das die betragsmäßig größte Schranke des Spektrums ist?

Also ist das abstrakt vergleichbar mit Spektren von Funktionen (Spektrum=Bild) und z.B ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die betragsmäßig größte Schranke des Spektrums existiert überhaupt nicht. Auch wenn du die kleinste meinst, stimmt das nicht ganz.
Diese "betragsmäßig kleinste obere Schranke des Spektrums" nennt sich auch Spektralradius.
Und ansonsten hast du wohl meinen Link zur Spektraltheorie nicht beachtet Augenzwinkern
In der entsprechenden Datei stehen da zwei interessante Formeln:
1. ist für .
Da wir vorhin schon gezeigt haben, erhalten wir damit nun die Gleichheit.
2. ist der Spektralradius im allgemeinen aber nicht die Operatornorm, sondern es gilt:
(da ein Banach-Raum ist)

Ach ja, aber
3. stimmt der Spektralradius bei kompakten, selbstadjungierten Operatoren immer mit der Norm des Operators überein. Das ist hier aber nicht der Grund; wäre unser kompakt, müsste die Null im Spektrum liegen.
Hier ist es also nur "Zufall", dass Spektralradius und Norm übereinstimmen.

Aber was genau meinst du mit dem Spektrum von Funktionen und wieso sollte das Spektrum mit dem Bild übereinstimmen?
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
überall. Eine Zahl ist also ein Spektralwert, wenn die Funktion f-z nicht invertierbar ist, also den Funktionswert 0 besitzt. Dies ist natürlich genau dann der Fall, wenn z ein Funktionswert von f ist. Das Spektrum einer Funktion ist daher genau ihr Bild.

(http://de.wikipedia.org/wiki/Spektrum_%28Operatortheorie%29)

...aber was solls: du groß, ich klein...

Auf jeden Fall Danke; mein Kopf platzt gleich und ich hau mich jetzt erstmal hin, in der Hoffnung, ein bisschen was davon verdauen zu können.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, du meinst Funktionen .
Ja, da kann ich zustimmen.

Ich dachte, du meinst das Bild von Funktionen oder allgemein zwischen Vektorräumen.
Edit: Aber eigentlich sollten erst einmal sowieso nur lineare Operatoren interessant sein.
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