Hilbertraum L^2: Operator

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chrissan Auf diesen Beitrag antworten »
Hilbertraum L^2: Operator
Hallo,
ich möchte mich an Aufgaben zur Hilbertraumtheorie versuchen (Achtung: ganz große Schwäche!). Habe bisher erst wieder die grundlegenden Begriffe durchgearbeitet, aber daher noch keinerlei Verständnis für das Lösen der betreffenden Aufgaben.

Die Aufgabe

Untersucht werden soll der Hilbertraum

Gegeben ist der Operator A:

a) Zeige, dass A beschränkt ist und schätzue die Norm nach oben ab.

b) Bestimme die Eigenwerte von A.

c) Bestimme das Spektrum zu A.

Ideen/Ansätze

Es handelt sich um den Raum der (reell) quadratisch integrierbarn Fkt über (0,1), also:



Zu a) Kann mich vage an herangehensweisen erinnern:

muss man dann irgendwie umformen. Die Norm von A sollte durch die induzierte Norm abschätzbar sein:

Zu b & c) Die Eigenwerte zu MAtrizen kann (/konnte) ich bestimmen, aber bei Operatoren fällt mir da auf Anhieb nichts konkretes ein...

LG, chrissan
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Für a)

Wie ist denn die Operatornorm definiert? Setz den Spaß mal ein, dann stehts fast schon da.

Für b) Wie lautet die Eigenwertgleichung? Schreibe diese auf und löse sie?

Für c) Das Spektrum eines Operators besteht aus verschiedenen Teilen. Schau Dir diese Mal an und überlege wie diese für den Operator aussehen!
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

a) Operatornorm:



, also sowas wie

?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte zwar noch einen Zwischenschritt eingefügt, aber ja. Und wenn Du jetzt eine Quadratintegrierbare Funktion x findest mit



dann gilt sogar . Überlege Dir mal warum das so ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze

Die Norm des Operators ist also abhängig von der Variable, die man in dessen Bildvektoren einsetzt? Augenzwinkern
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit dem Zwischenschritt meinst du den Beweis, das eine quadr integrierbare Fkt. mit existiert. Also in diesem Fall einfach das Beispiel , oder sowas in der Art?

Zitat:
dann gilt sogar . Überlege Dir mal warum das so ist.


na vermutlich, weil die Norm ja offenbar als das entsprechende Supremum definiert ist...also das Supremum nicht eine Schranke, sondern genau die gesuchte Norm ist.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Norm des Operators ist also abhängig von der Variable, die man in dessen Bildvektoren einsetzt? Augenzwinkern


Hammer Danke. Dann macht auch der Ausdruck

Zitat:
?


So auch noch keinen Sinn.

Besser :



Das ist zu lösen für die Abschätzung. Denk dran dass damit ist die Abschätzung recht schnell zu erschlagen.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke: das macht auch irgendwie sinn, weils sonst ja doch etwas zu trivial gewesen wäre...

Zu b)

Zitat:
Für b) Wie lautet die Eigenwertgleichung? Schreibe diese auf und löse sie?


Aus der Matrizenrechnung bekannt:

, aber das ist ja hier kaum anwendbar. Aber aus der Physik ist mir bekannt...

Adjungiert bedeutet ja (, wenn ich mich recht entsinne) einfach: komplexe Einträge des Operators müssen komplex kunjugiert werden. Demnach würde sich hier ja ergeben...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Eigenwerte eines Operators T sind diejenigen Elemente des Grundkörpers für die

nicht injektiv ist. Oder anders gesprochen. Es gibt eine Funktion f, so dass



ist. Für unser Beispiel wäre dass :

für alle und . Denk da mal drüber nach!
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal zu a)

macht doch iwie auch keinen sinn, oder?
Ich vermute, dass das von x abhängen müsste, andererseits kann ich x ja durch die supremumsabschätzung rauswerfen...aber dann weiß ich offenbar doch nciht, wie ich



weiter auflöse:

Zitat:
Denk dran dass damit ist die Abschätzung recht schnell zu erschlagen.


ja klar; das steht ja eben auch schon im Integral (als obere und untere Grenze). Und da es dort schon verwendet ist, würde mir die Abschätzung



nicht wirklcih sinnig erscheinen. Damit schätze ich den Ausdruck ab, aber was bringt mir das in Hinblick auf das Integral?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Schon die richtige Idee.

wenn



so ist

chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

...das gibt dann



Soll ich da nun das x per Supremum erschlagen ( Geht das überhaupt, dh. dürfte ich das schon ins integral ziehen?), oder nicht? Wenn ja, dann wäre die Operatornorm ja wieder eine Zahl ( ), was nach meinem Verständnis nicht unbedingt sinn macht. Wenn nein, kann ich das Integral nicht auflösen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Soll ich da nun das x per Supremum erschlagen


Naja, wir bilden das Supremum über alle Funktionen die L²-Norm kleinergleich 1 haben. Damit kannst Du natürlich den Integral ausdrück sofort abschätzen.

Zitat:
Operatornorm ja wieder eine Zahl


Die Norm ist per Definition eine Funktion die in den Zahlenkörper der zugrundeliegenden Vektorräume abbildet. Die Norm muss eine Zahl sein.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Demnach tatsächlich



Edit: habe die Wurzel vergessen, also , damit wäre dann auch das nachfolgende nicht mehr notwendig, da die Abschätzung kleiner ist...

was ist dann mit der Lösung

Zitat:


, bzw ?

Ich habe nämlich gerade gesehen, dass diese 7/3 in einer Lösung zu dieser Aufgabe auftreten.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ist schon richtig, Du musst die 2 im Integral ja einmal quadrieren.


stimmt. schön, wenn man sich selbst verschlimmbessert.

Danke schonmal dafür, ich knobel auch gerade noch an den Eigenvektoren...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze:
Der Beitrag damit ist inzwischen verschwunden, wahrscheinlich hast du bemerkt, dass die Norm von größer als Eins ist.
Dass kann man per Grenzwertbildung mit zeigen.
Warum ich das aber anmerke: Bevor du jetzt weiterrätselst: Die Aufgabe verlangt ja gar nicht, die Norm exakt zu bestimmen. Augenzwinkern
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön sehr schön. taucht in dem Zusammenhang aber auch echt oft auf. Was die Eigenwerte angeht.

Nehmen wir an

Ist



lösbar für irgendein Lambda?
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

klaro:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So, und jetzt nehmen wir an es gäbe eine zweite Stelle mit

Gibt es dann eine Lösung von

chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

klaro:


...das spiel könnten wir jetzt vermutlich beliebig lang weiterspielen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist die. Es soll

für alle gelten. Sprich, ein Lambda für alle t, jetzt haben wir aber für zwei verschiedene t's schon 2 verschiedene Lambdas. Also?
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

na es gibt sicherlich kein lambda, dass unabhängig von t ist, falls du das meinst...

aber das widerspricht doch nicht der Injektivität?!? o_O
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Oder anders gesagt, keine Funktion die an wenigstens 2 Stellen ungleich 0 ist, ist als Kandidat für eine Eigenfunktion geeignet. Die einzigen Funktionen die Tatsächlich in Frage kommen sind die 0 Funktion und



Nun müssen wir aber schaun in welcher Menge wir uns befinden. Gibt es die Funktionen überhaupt im ?
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

eher nicht...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Haben wir also überhaupt Eigenwerte?

edit: So ich muss jetzt leider Weg, entweder es geht morgen weiter oder Che Netzer übernimmt Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder ein kleiner Einwand:
liegt durchaus in (ist ja quadratisch integrierbar), ist dort aber mit der Nullfunktion identisch (bzw. zu dieser äquivalent), d.h. .

Und wo ich schon bei kleinen Einwänden bin:
Die Norm ist zwar einigermaßen eine Abbildung in den zugrunde liegenden Körper, genauer aber nur in .
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

also ist der schluss dennoch: es gibt keine eigenwerte?

das leuchtet mir nach der definition mit der injektivität nicht ganz ein.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
liegt durchaus in (ist ja quadratisch integrierbar), ist dort aber mit der Nullfunktion identisch (bzw. zu dieser äquivalent), d.h. .


Naja, wenn man ganz pedantisch ist liegt nicht in L². Denn der L² ist eine Menge von Äquivalenzklassen (Faktorraum bezüglich Nullmengen) während erstmal nur eine Funktion ist (oder ganz exakt ne Menge ^^). Darauf wurden wir früher schon aufmerksam gemacht dass man eigentlich nicht mit Funktionen sondern Äquivalenzklassen arbeitet.

Zitat:
das leuchtet mir nach der definition mit der injektivität nicht ganz ein.


Du hast doch gesehen dass der einzige Kandidat die Nullfunktion ( ÄQ) ist und diese ist präzise in der Definition ausgenommen.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

So...guten morgen erstmal,
habe mir das ganze über nacht nochmal durch den Kopf gehen lassen. Das mit der Beschränktheit hat mich schon sehr weiter gebracht. Danke dafür.
Habe heut morgen nochmal die Definitionen für b) & c) recherchiert und mir klar gemacht und denke, dass Problem mit den Eigenwerten nun verstanden zu haben:



Dachte, dass sich Id auf f bezieht, aber anscheinend bezieht es sich im Beispiel auf t, wie ich aus
Zitat:
für alle
schließe.

Nun zu c) Erstmal voraus; es gibt also unter umständen ein Spektrum, obwohl es keine Eigenwerte gibt (ganz intuitiv hätte ich gedacht, dass Spektrum setzt sich aus den Eigenwerten zusammen -> es gibt aber verschiedene Arten von Spektren).

Zitat:
Für c) Das Spektrum eines Operators besteht aus verschiedenen Teilen. Schau Dir diese Mal an und überlege wie diese für den Operator aussehen!


würde das "Punktspektrum" ergeben. Es gibt aber nach Aufgabe (b) keine , die diese Eigenschaft erfüllen.

Demnach sollen noch stetiges Spektrum und Residualspektrum untersuchen.

Zitat:
stetiges Spektrum:
Wenn der Operator injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, aber ein dichtes Bild besitzt, das heißt es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichten Teilraum des Banachraumes X definiert ist, dann ist ein Element des stetigen Spektrums von T


Im Grunde wurde ja in (b) bereits nachgewiesen, dass injektiv ist. Zu dieser Definition würde ich mir noch eine Erklärung wünschen. Ich verstehe das so:

Zitat:
Residualspektrum:
Wenn der Operator injektiv ist, jedoch kein im Banachraum X dichtes Bild besitzt, dann ist ein Element des Residualspektrums


Nach meinem Verständnis, kann ein Operator also immer nur eines dieser 3 Spektren besitzen. In unserem Fall wäre dies vermutlich das stetige Spektrum:

- Injektivität folgt aus der Nicht-Nicht-Injektivität aus (b)
- Nicht-Surjektivität ist irgendwie klar, da der Operator ja lediglich auf einen Streifen der Breite 1 abbildet. Nämlich wird x abgebildet auf einen Teilraum, der durch (t+1) mit begrenzt ist, also liegt das Bild iwo zwischen x und 2x ? (Ich hoffe ich habe hier jetzt nicht zu viele Begrifflichkeiten abstrakt durcheinandergeworfen)
- Das Spektrum ist nun aber was?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dachte, dass sich Id auf f bezieht, aber anscheinend bezieht es sich im Beispiel auf t, wie ich aus


Id ist der Identitätsoperator auf , also

mit

Zitat:
Nach meinem Verständnis, kann ein Operator also immer nur eines dieser 3 Spektren besitzen. In unserem Fall wäre dies vermutlich das stetige Spektrum:


Ist so nicht richtig. Ein Operator kann durch aus alle 3 Spektren besitzen. Vor allem bei unbeschränkten Operatoren kommt das vor.

Schau Dir zunächst mal das kontinuerliche Spektrum an. Was heißt es wenn das Bild des Operators dicht in ist ?

Zitat:
- Nicht-Surjektivität ist irgendwie klar, da der Operator ja lediglich auf einen Streifen der Breite 1 abbildet. Nämlich wird x abgebildet auf einen Teilraum, der durch (t+1) mit begrenzt ist, also liegt das Bild iwo zwischen x und 2x ? (Ich hoffe ich habe hier jetzt nicht zu viele Begrifflichkeiten abstrakt durcheinandergeworfen)


Irgendwie verstehe ich die Ausführungen nicht.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was heißt es wenn das Bild des Operators dicht in ist ?


Das bedeutet im Grunde, dass dort keine "Lücken" im Bild entstehen. Da x(t) in liegt, muss logischerweise auch in liegen und da keine Polstellen o.Ä. bestitz, liegt das Bild auch dicht in
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das bedeutet im Grunde, dass dort keine "Lücken" im Bild entstehen.


Exakt :

Sei das Bild von dann ist

genau dann Dicht in wenn



gilt. Alternativ :

ist dicht in wenn für alle eine Folge existiert, so dass

Wir müssen also die Lambdas finden , so dass für alle eine Folge existiert, mit
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder und mecker Augenzwinkern

Anscheinend ist chrissan die Unterscheidung in Punktspektrum etc. bisher noch nicht bekannt gewesen.
Wieso geht ihr also nicht über die direkte Definition des Spektrums über die Invertierbarkeit?
Der inverse Operator ist beschrieben durch

Wann ist der überhaupt wohldefiniert etc.? Ist er ansonsten beschränkt?

Ansonsten:
Zitat:
Nach meinem Verständnis, kann ein Operator also immer nur eines dieser 3 Spektren besitzen.

Das stimmt wie gesagt nicht; allerdings liegt ein Spektralwert immer in genau einer dieser Mengen.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Der Strich soll "abgeschlossen" heißen, oder? sonst macht es denke ich mal keinen sinn...

Bin jetzt seit einer Weile am Überlegen, aber was Folgen angeht bin ich auch nicht viel besser...

Ich interpretiere Folgendes:

Zitat:
existiert, mit


Es muss sich also eine Folge handel, die die identische Abbildung (für jedes Folgenglied?) erfüllt und gegen f strebt. Darunter kann ich mir leider nichts vorstellen...
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

@CheNetzer:

Zitat:
Wann ist der überhaupt wohldefiniert etc.? Ist er ansonsten beschränkt?


Wohl definiert ist er, wenn .
Daraus ergibt sich dann ja quasi
Wegen vermute ich, dass er nicht beschränkt ist...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn , dann ist er nicht wohldefiniert bzw. bildet nicht nach ab.
Aber natürlich kann noch nicht das gesamte Spektrum sein.

Mit der Beschränktheit meinte ich: Ist der Operator beschränkt, falls er wohldefiniert ist?
Wenn wir nämlich diese "Unwohldefiniertehitsmenge" als Spektrum vermuten, müssen wir zeigen, dass der Rest von bzw. nicht zum Spektrum gehört. (d.h. für anderes soll existieren und beschränkt sein).
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt schon, die Aufspaltung der einzelnen Spektralteile ist nicht gefordert. Ich würde dem Weg folgen sofern dir die Spektrumanteile noch ungewohnt sind.

Falls Du doch zum Beispiel am kontinuierlichen Spektrum interessiert bist :

Betrachte die Funktion mit und die Mengen und betrachte die Funktionenfolge der charakteristischen Funktionen von . Nennen wir diese Folge also .

Setze



Für welche Lambda kannst Du zeigen? Was ist zu überprüfen bezüglich der ? Mit der dominanten Konvergenz kommt man dann auf die Dichtheit für entsprechende Lambda.
chrissan Auf diesen Beitrag antworten »

@ CheNetzer: Weiß jetzt leider nicht, ob ich dich richtig verstehe:

für wäre nach unten beschränkt. Für nach oben?

@Mazze:

Was heißt .

Zitat:
Für welche Lambda kannst Du zeigen?


für , aber ich weiß wie gesagt nicht, ob ich richtig interpretiere...

Edit:
Zitat:
soll "die Menge (0,1= ohne die Menge bedeuten"?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

sollte aber ein Skalar bleiben, nicht gegen Unendlich gehen.
Zunächst einmal fehlen dir noch ein paar Zahlen für , für die die Inverse nicht wohldefiniert ist. Das ist nicht nur auf der Fall.
Müssen die Polstellen denn im Innern des Intervalls liegen, damit die Funktion nicht quadratisch integrierbar ist?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich doch geschrieben

Zitat:
betrachte die Funktionenfolge der charakteristischen Funktionen von


ist die Mengendifferenz von (0,1) und M_n , und



p.s.: Wir machen jetzt erstmal mit dem Spektrum weiter, die Klassifikation des selben können wir hinterher machen sofern interesse besteht.
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