Orthogonalität im Hilbertraum |
25.09.2012, 16:22 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Orthogonalität im Hilbertraum ich möchte mich an Aufgaben zur Hilbertraumtheorie versuchen (Achtung: ganz große Schwäche!). Habe bisher erst wieder die grundlegenden Begriffe durchgearbeitet, aber daher noch keinerlei Verständnis für das Lösen der betreffenden Aufgaben. Die Aufgabe Seien , H sei der reelle Hilbertraum und . Gezeigt werden soll, dass x und y genau dann orthogonal sind, wenn gilt: Idee Ich kann es mir ohne Probleme vorstellen und würde die Aussage (rein vom logischen her) sofort unterschreiben. Ein Beweis würde ansonsten vermutlich mittels Dreiecksungleichung gelingen, aber wie behandelt man die Aufgabe im Zuge der Hilbertraumtheorie? |
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25.09.2012, 16:33 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, Hilberträume zeichnen sich dadurch aus, dass sie Banachräume mit Skalarprodukt sind. Wie hängen Norm und Skalarprodukt zusammen. Was bedeutet orthogonal in dem Zusammenhang? |
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25.09.2012, 16:38 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...in Anlehnung an die Vektorrechnung bedeutet orthogonal dann , dass das Skalarprodukt =0 ist. Aber das Skalarprodukt woraus? |
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25.09.2012, 16:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So siehts aus. Genauso ist es für Hilberträume, genauer : Der mit dem üblichen Skalarprodukt ist ebenfalls ein Hilbertraum. Insgesamt :
Naja, in der Aufgabe steht doch genau dann wenn x und y orthogonal sind, sprich . |
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25.09.2012, 18:26 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt für mich: Ich muss irgendwie von nach kommen. Und da seh ich kein Licht |
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25.09.2012, 18:42 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genauer ist zu zeigen: Die Rückrichtung ist aber nicht schwer. Rechne doch mal aus. |
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26.09.2012, 10:30 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
, nach reellem Skalarprodukt. Dem gegenüber: , da wir uns im reellen Hilbertraum befinden, darf ich quadrieren und erhalte: , also Komponentenweise Und aus dem Skalarprodukt folgt also , was für reelle ungleich 0 eine wahre Aussage ist. Wars das? |
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26.09.2012, 10:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So geht das nicht. Wir wissen nicht welches Skalarprodukt wir haben. Es könnte sich genauso um das Skalarprodukt im handeln. Du kannst nicht einfach das reelle Skalarprodukt einsetzen. Nutze die allgemeinen Eigenschaften die ein Skalarprodukt erfüllt wie etwa Linearität in beiden Argumenten usw. |
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26.09.2012, 10:37 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da H also als reeller Hilbertraum definiert ist, dachte ich, das man auch das reelle Skalarprodukt nehmen dürfte... |
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26.09.2012, 10:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nö, ist auch ein reeller Hilbertraum. Das reell bezieht sich auf den zugrundegelegten Zahlenkörper. Daher finde ich auch die Formulierung "der reelle Hilbertraum" schon merkwürdig. |
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26.09.2012, 10:48 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mist. Aber das Skalarprodukt besitzt definitv mir bekannte Eigenschaften: Auf den ersten Blick nützlich erscheint mir in diesem Fall: Dann probier ichs mal damit... |
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26.09.2012, 11:03 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist also noch zu Zeigen, dass ,also , oder habe ich bishier wieder irgendwas falsch angewendet? |
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26.09.2012, 11:05 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gilt übrigens nur wenn ist. Die Rückrichtung ist übrigens denkbar einfach. |
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26.09.2012, 11:10 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das soll auch tatsächlich so sein. Aber im Grunde ist jetzt: als wahre Aussage für und im reellen der Beweis? Danke... |
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26.09.2012, 11:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis wofür? |
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26.09.2012, 11:27 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder bin ich ganz dumm oder ich sehe etwas offensichtliches nicht. Auf jeden Fall will ich den Beweis mal sehen. |
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26.09.2012, 11:31 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist eine wahre Aussage für und (jedenfalls im Reellen und eben dort befinden wir uns) Damit ist der Ursprung der Aussage, nämlich bewiesen/gezeigt... |
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26.09.2012, 11:59 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aussage ist nicht Äquivalent zu Wir wollen das Beweisen. Dazu sind zwei Aussagen zu zeigen: 1. Wenn dann gilt (Die Hinrichtung) 2. Wenn dann gilt (Die Rückrichtung) Alternativ kann man die Aussage mit Äquivalenzumformungen auf eine wahre Aussage führen. |
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26.09.2012, 12:13 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber genau das habe ich doch gemacht und bin auf die wahre Aussage gestossen, oder stehe ich jetzt komplett auf dem Schlauch? |
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26.09.2012, 12:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich schon gesagt habe, die Aussage ist nicht äquivalent zu Du warst an diesem Punkt : Von hier gibt es keine Äquivalenzumformung mit der man erreichen könnte. |
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26.09.2012, 12:23 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja: ich setze ein in Stimmt schon: Das ist dann natürlich nur die eine Richtung (bei dir die Rückrichtung)...Dann muss ich ncoh en wenig knobeln, um die Hinrichtung hinzubekommen... |
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26.09.2012, 12:24 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So siehts aus. Die Rückrichtung ist damit aber auch erschlagen |
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26.09.2012, 16:53 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tja...ich raffs nicht. Die eine Richtung ist schon klar, aber ich sehe einfach nicht wie sich aus ergeben soll, dass gelten muss: Wenn finde ich keinen Widerspruch zu Ich erkenne auch nicht, welches der sonstigen Axiome für Skalarprodukte zielführend sein könnten |
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26.09.2012, 17:01 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schon . ist erstmal Äquivalent zu Setze dann haben wir Das ist ein einfaches Polynom. Löse für Alpha . Fertig. |
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26.09.2012, 17:35 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Langsam dreh ich durch xD Jetzt komme ich auf ...also nochmal |
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26.09.2012, 17:52 | chrissan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
steh nach wie vor aufm Schlauch: , also , was ja eh schon gefordert ist: |
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26.09.2012, 18:01 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist das falsch. Die Korrekten Nullstellen sind Jetzt könntest Du zum Beispiel mal betrachten und hier mal einsetzen. |
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26.09.2012, 18:07 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Seine Nullstellen waren doch vollkommen richtig. Außerdem sind die eh egal; man sieht nämlich, dass es davon zwei verschiedene gibt (da kein konstanter Term vorhanden ist, kann die Diskriminante nur dann nicht positiv sein, wenn ...) und die Funktion somit irgendwo negativ wird. |
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26.09.2012, 18:09 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt, insofern ist die Aufgabe damit auch erschlagen. |
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26.09.2012, 19:06 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was genau wurde denn damit bewiesen? Ich sehe nicht, wie das für ein beliebiges Alpha gelten soll, mag jemand bitte erklären? |
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26.09.2012, 19:20 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aussage haben wir umgeformt zu Wäre jetzt , hätte die linke Seite zwei verschiedene Nullstellen und wäre damit irgendwo negativ. Das bedeutet, damit für alle gilt, muss sein. |
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26.09.2012, 19:45 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ok danke, ich sehe jetzt, was überhaupt gemeint war. |
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26.09.2012, 21:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, am Anfang fehlte die Anmerkung, dass die Ungleichung für alle fehlen sollte, die wurde stückchenweise ergänzt. |
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