Stetigkeit einer Funktion f: Q -> R

25.09.2012, 19:58	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion f: Q -> R Bei der folgenden Aufgabe würde ich gern meine Gedanken mal ordnen. Aufgabe: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:\; \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ wird durch die Funktionsvorschrift: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=\begin{cases} 0, & \text{wenn }x<\sqrt{2}<br /> 1, & \text{wenn }x>\sqrt{2}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ definiert. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ stetig ist. Ich halte fest: $\begin{eqnarray} \sqrt{2}\notin \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Das heißt, dieser Fall muss nacher nicht betrachtet werden. Satz: Eine Funktion f ist in einem Intervall stetig, wenn sie in jedem Punkt des Intervalls stetig ist. Nun wähle ich ein beliebiges $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und zeige: $\begin{eqnarray} \exists \lim_{x \to x_0} f(x) \; \wedge \; \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0\in \mathbb{Q} \; \; \Rightarrow \end{eqnarray}$ 1Fall: $\begin{eqnarray} x<\sqrt{2} \; \Rightarrow \; f(x)=0 \; \Rightarrow \; \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} 0=0=f(x_0) \end{eqnarray}$ 2Fall: $\begin{eqnarray} x>\sqrt{2} \; \Rightarrow \; f(x)=1 \; \Rightarrow \; \lim_{x \to x_0} f(x) =\lim_{x \to x_0} 1=1=f(x_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \end{eqnarray}$ ist stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Könnte ich das so oder so ähnlich zeigen? Viele Grüße, Christian
26.09.2012, 23:09	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit einer Funktion f: Q -> R Generell ist die Idee richtig, wenn ich das richtig interpretiere (das ist leider nötig!). Ein paar Anmerkungen: - über ein Intervall redest du hier nicht, also kannst du strenggenommen den Satz so nicht anwenden, aber es gilt natürlich: "Eine Funktion ist auf einer Menge stetig, wenn sie in jedem Punkt der Menge stetig ist." - die Art und Weise aufzuschreiben, was du zeigen musst finde ich nicht ganz so gelungen. Deine "1Fall" und "2Fall"-Folgekette ist auch formal falsch. Lieber Worte benutzen! - Das mit dem Grenzwert solltest du noch argumentieren, also z.B.: Es gilt $\begin{eqnarray} x_0<\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und damit erfüllen für jede Folge $\begin{eqnarray} x_n\to x_0 \end{eqnarray}$ auch alle bis auf endlich viele Folgenglieder $\begin{eqnarray} x_n<\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Daher ist der Grenzwert der Bilder dann eben 0. Gruß Martin
27.09.2012, 12:35	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Martin, danke für deine Antwort! Aha ok. Ja, den Satz muss ich auf die Ganze Menge Q ausdehnen, stimmt. Die Folgekette kam mir auch n bisschen spanisch vor, aber ich wollte es halt versuchen, formal aufzuschreiben... bis dann
27.09.2012, 23:43	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständig formal schreibt man etwas in der Mathematik ganz selten auf - nur, wenn es eben genau darum geht, z.B. in Teilen der mathematischen Logik. Generell ist es erwünscht, mit Worten zu beschreiben, wo es sinnvoll ist. Mach dir da also keine Sorgen. Der Beweis sollte möglichst lesbar und nachvollziehbar sein, nicht möglichst formal. Gruß MI
28.09.2012, 14:58	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke MI! Der Hinweis hilft mir schon weiter und entlastet mich sogar auch ein bisschen.

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