Kombinatorik mit Wiederholungen - Urnen

25.09.2012, 20:13	Gecko232	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik mit Wiederholungen - Urnen Meine Frage: In einer Urne befinden sich 10 rote, 7 schwarze und 3 weiße Kugeln. b) Es werden nacheinander MIT ZURÜCKLEGEN 4 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: D: Es ist genau eine Kugel rot, E: Nur die erste Kugel ist rot Meine Ideen: Hallo liebes Matheboard, ich sitze seit einiger Zeit verzweifelt vor einer Aufgabe. zu D: Meine Überlegung ist, dass es sich um eine Kombination mit Wiederholung handelt. Dort gilt ja folgende Formel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Eine Kugel rot, heißt nach dieser Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sonst soll keine Kugel rot sein, also sollen 3 von den 10 "nichtroten" Kugeln gezogen werden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Insgesamt gibt es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 23 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ verschiedene Möglichkeiten Kugeln zu ziehen. Setzt man dies in die Laplace-Wahrscheinlichkeit so sieht dies so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 23 \\ 4 \end{pmatrix}} = \frac{40}{161} \end{eqnarray}$ Rechne ich es jedoch ausführlich mit den Einzelwahrscheinlichkeiten (RSSS,RWWW,RWWS,RSSW) so komme ich auf genau $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ was laut meiner Lehrerin auch richtig ist. Was mir auffällt ist das also im Bruchstrich bei meiner obigen Rechnung der Wert um eins zu groß ist. $\begin{eqnarray} \frac{40}{161-1} \end{eqnarray}$ wären ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Zu E: Meine Überlegung hier ist diese: Nach der obigen Formel ist es ja vollkommen egal an welcher Position die schwarze Kugel ist, jetzt muss sie an genau einer (der ersten) sein. Also gibt es nur $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ der Fälle wie oben. Eingesetzt sieht dies so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 12 \\ 3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 23 \\ 4 \end{pmatrix}} : 4 = \frac{10}{161} \end{eqnarray}$ Wieder dasselbe Problem, es muss $\begin{eqnarray} \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \frac{10}{160} \end{eqnarray}$ rauskommen. Also wo ist mein Fehler? EDIT: Latexcode korrigiert
25.09.2012, 22:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik mit Wiederholungen - Urnen Hallo, diese Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+k-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist für die Anwendung bei Fällen mit Wiederholung aber ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Desweitern ziehst du n=4 Kugeln von denen eine Kugel rot ist. Mit dem Binomialkoeffizienten kannst du so die Anzahl günstiger Ereignisse berechnen. Die Anzahl möglicher Ereignisse wäre dann $\begin{eqnarray} n^k \end{eqnarray}$ . Du hast vier Ziehungen (k) von denen es zwei mögliche Ausgänge gibt: rot und nicht-rot. Also die Formel für Fälle mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Wiederholung. Bei der E) musst du dir eigentlich nur überlegen, wie groß die Chance ist bei der ersten Ziehung eine rote Kugel zu ziehen. Und dann berechnen wie groß die Chance ist, bei der zweiten Ziehung keine rote Kugel zu ziehen. Die gleiche Überlegung bei der Ziehung drei und vier anstellen. Dann die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Mit freundlichen Grüßen.

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