bestimmtes Integral

04.02.2007, 14:32

beachboy

bestimmtes Integral

gegeben ist das bestimmte Integral

$\begin{eqnarray*} In(a)=\int_{0}^{a}~tan^n(x)~dx \end{eqnarray*}$

1. Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} I_0(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_1(a) \end{eqnarray*}$

leider hab ich keine ahnung was mein proof da will, was ist $\begin{eqnarray*} I_0(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_1(a) \end{eqnarray*}$ überhaupt und mit welchem Weg komme ich darauf?

wär super wenn mir das einer eklären kann!
thx !

lg
beach

04.02.2007, 14:35

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Na ist doch klar, n=0 und n=1 in das allgemeine $\begin{eqnarray*} I_n(a) = \int\limits_{0}^{a} ~ \tan^n(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} I_0(a) = \int\limits_{0}^{a} ~ \tan^0(x) ~ \dd x = \int\limits_{0}^{a} ~ 1 ~ \dd x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_1(a) = \int\limits_{0}^{a} ~ \tan^1(x) ~ \dd x = \int\limits_{0}^{a} ~ \tan(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

und ausrechnen.

04.02.2007, 14:35

uwe-b

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Ich schätze es ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} I_n(a)=\int\limits_0^a \tan{x}^n \,dx \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} I_0 = \int\limits_0^a tan{x}^0 \,dx \end{eqnarray*}$ .

usw.

Gruß Uwe

04.02.2007, 14:38

Lazarus

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Bisschen ungünstig geschrieben uwe.
Auch wenn du $\begin{eqnarray*} \tan{x}^n=\left[\tan\left(x\right)\right]^n=\tan^n{x} \end{eqnarray*}$

code:
1:	\tan{x}^n=\left[\tan\left(x\right)\right]^n=\tan^n{x}

schreibst siehts eher aus wie $\begin{eqnarray*} \tan{x^n}=\tan\left(x^n\right) \end{eqnarray*}$

code:
1:	\tan{x^n}=\tan\left(x^n\right)

04.02.2007, 15:55

beachboy

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ah ok das ging ja smile

muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{a} ~ 1 ~ \dd x \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{a} ~ \tan(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

noch weiter ausrechnen?

bei b) is nun nämlich gefragt: Leiten Sie die Rekursionsformel für In(a) her: Verwenden Sie dafür den Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~tan^n(x)~dx =\int_{}^{}~sin^{n-1}(x)\frac{sin(x)}{cos^n(x)} ~dx \end{eqnarray*}$

was ist die Rekursionsformel? wie ich auch In(a) komme oder was is da gefragt?!

danke für die schnelle hilfe!

04.02.2007, 17:02

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Zitat:

Original von beachboy
muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{a} ~ 1 ~ \dd x \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{0}^{a} ~ \tan(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

noch weiter ausrechnen?

Na was denkst du denn, das ist sicher nicht nur eine Einsetzübung!

Zitat:

Original von beachboy
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~tan^n(x)~dx =\int_{}^{}~sin^{n-1}(x)\frac{sin(x)}{cos^n(x)} ~dx \end{eqnarray*}$

Das ist ein Wink mit dem Zaunpfahl, dass du hier partielle Integration

$\begin{eqnarray*} \int ~ uv' ~ \dd x = uv ~ - ~ \int ~ u'v ~ \dd x \end{eqnarray*}$

versuchen sollst, konkret mit

$\begin{eqnarray*} u = \sin^{n-1}(x),\qquad v'=\frac{\sin(x)}{\cos^n(x)} \end{eqnarray*}$ . Das bringt dich dann zu einer Rekursionsformel für $\begin{eqnarray*} I_n(a) \end{eqnarray*}$ .

04.02.2007, 17:39

Leopold

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Ich würde die Sache leicht anders angehen: Für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{n-1} \, \tan^{n-1} \right)' = \tan^{n-2} \cdot \left( 1 + \tan^2 \right) = \tan^{n-2} + \tan^n \end{eqnarray*}$

Das löst man nach $\begin{eqnarray*} \tan^n \end{eqnarray*}$ auf und ersetzt im Integral entsprechend. Dann steht die Rekursionsformel auch schon da.

04.02.2007, 17:47

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Naja, nach nur einer Zeile münden beide Wege in dieselbe Spur, ist also rum wie num. Augenzwinkern

12.02.2007, 13:41

beach

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stimmt das so?

1. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~1~dx =[x]_{0}^a =a \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~tan(x)~dx =[-ln|cos(x)|]_{0}^a =-ln|cos(a)|-0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

12.02.2007, 14:02

beachboy

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hm mein ansatz zur partiellen integration?!

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin^{n-1}(x)\cdot\frac{sin(x)}{cos^n(x)}~dx = sin^{n-1}(x)\cdot\frac{cos^{1-n}(x)}{n-1}+C-\int_{0}^{0}~ (n-1)cos(x)sin(x)^{n-2}\cdot\frac{cos^{1-n}(x)}{n-1}+C \end{eqnarray*}$

muss ich da jetz weitermachen, also nochmal u und v bestimmen oder is das sowieso total falsch?

lg
beach

28.05.2007, 14:55

beach

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sorry, dass ich das jetzt nochmals ausgrabe aber ich hoffe noch auf hilfe smile

lg
beach

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bestimmtes Integral

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