Summe zweier verschobener Sinusfunktionen

26.09.2012, 00:23

Sinuswelle

Summe zweier verschobener Sinusfunktionen

Meine Frage:
Wie kann man zeigen, dass die Summe zweier Sinusfunktionen sin(x) + sin(x + y) eine Sinusfunktion ergibt und welche Amplitude hat diese neue Sinuskurve?

Meine Ideen:
Ich habs mit dem Additionstheorem versucht, aber es hat mich zu keinem derartigem Ergebnis geführt.

26.09.2012, 06:42

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sin(x) + \sin(x+a) = 2 \cos \left( \frac{1}{2} a \right) \cdot \sin \left( x + \frac{1}{2} a \right) \end{eqnarray*}$

26.09.2012, 08:32

Sinuswelle

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Wie kommt man darauf?

26.09.2012, 09:06

Sinuswelle

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Ahh, hat sich erledigt. Wie kann man das allgemein machen, wenn man die Funktion a * sin(bx + c) + d * sin(bx + e) betrachtet? Da kommt doch auch eine Sinusfunktion raus.
Wie würde das für a * sin(bx + c) + d * sin(dx + e) aussehen? Ich hab eine solche Funktion gezeichnet und festgestellt, dass sie keine Sinusfunktion war.

26.09.2012, 09:10

Mystic

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Zitat:

Original von Sinuswelle
Ahh, hat sich erledigt. Wie kann man das allgemein machen, wenn man die Funktion a * sin(bx + c) + d * sin(bx + e) betrachtet? Da kommt doch auch eine Sinusfunktion raus.
Wie würde das für a * sin(bx + c) + d * sin(dx + e) aussehen? Ich hab eine solche Funktion gezeichnet und festgestellt, dass sie keine Sinusfunktion war.

Du musst zuerst $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+d^2} \end{eqnarray*}$ "herausheben", mit

$\begin{eqnarray*} \frac a{\sqrt{a^2+d^2}} \sin(bx + c) + \frac d{\sqrt{a^2+d^2}} \sin(ex + f) \end{eqnarray*}$

"funktioniert" es dann wieder...

26.09.2012, 09:14

Sinuswelle

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Oh mir ist gerade ein Fehler unterlaufen, ich meinte die Funktion a * sin(bx + c) + d * sin(ex + f). Also alle Parameter sind verschieden.Entschuldigung.

26.09.2012, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sinuswelle
Wie würde das für a * sin(bx + c) + d * sin(ex + f) aussehen? Ich hab eine solche Funktion gezeichnet und festgestellt, dass sie keine Sinusfunktion war.

Naja, es sollte schon $\begin{eqnarray*} b=e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=-e \end{eqnarray*}$ sein (also gleiche Periode), damit auch die Summe wieder eine Sinusfunktion ist.

EDIT: Parameter entsprechend obiger Korrektur angepasst - das Problem bleibt aber bestehen.

26.09.2012, 09:20

Sinuswelle

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Ja, das war mir bewusst. Aber man kann doch auch dazu eine Funktionsgleichung angeben, nur weiß ich nicht wie ich das vereinfachen kann...

26.09.2012, 09:20

Mystic

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Ja, ist mir auch gar nicht aufgefallen... Ich hab das aber oben in meinem Vorschlag gleich ausgebessert... Bin dann weg... Wink

26.09.2012, 11:32

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Sinuswelle
Aber man kann doch auch dazu eine Funktionsgleichung angeben, nur weiß ich nicht wie ich das vereinfachen kann...

Vereinfachen, nun ja ...

Das gibt eine Überlagerung von vier amplitudenmodulierten Schwingungen:

a * sin(bx + c) + d * sin(ex + f)

= a*sin(b*x)*cos(c)
+ a*cos(b*x)*sin(c)
+ d*sin(e*x)*cos(f)
+ d*cos(e*x)*sin(f)

Wolltest Du das wissen?

Viele Grüße
Steffen

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