Kugelabschnitt nach Höhe umstellen

26.09.2012, 09:10

Ascareth

Kugelabschnitt nach Höhe umstellen

Hallo,

ich habe das hier schon einmal gelesen und es scheint das man das so gar nicht lösen kann. Möchte mich da aber noch mal vergewissern. Es geht also darum:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3} \pi h² (3r - h) \end{eqnarray*}$

Das soll nach h umgestellt werden. Wenn ich ein bisschen was umforme komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 V}{\pi} = - h³ + 3r h² \end{eqnarray*}$

Das bringt mich aber auch nicht weiter.

Hat jemand eine Ahnung wie man das lösen soll?

Gruß, Asca

PS: Ich habe schon überlegt, ob man nicht vielleicht h ausklammern, dann die nur noch quadratische Klammer auf die Normalform bringt und einfach mit pq formel weitermacht ... aber eigentlich interessiert mich ja die Nullstelle der Klammer nicht wirklich, zumal man sie darüber hinaus auch noch direkt ablesen kann; nämlich: +3r ... Also wie kann man hier nach h auflösen?

26.09.2012, 10:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine kubische Gleichung, die man mit den Cardanischen Formeln lösen kann. Wenn man nach $\begin{eqnarray*} x:=\frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ statt direkt nach $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ umformt, dann liegt sie sogar schon in Normalform vor (d.h. ohne quadratisches Glied).

EDIT: Bezeichnet $\begin{eqnarray*} V_K = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$ das zugehörige Kugelgesamtvolumen, und setzt man $\begin{eqnarray*} \lambda = \sqrt{\frac{V}{V_K}} \end{eqnarray*}$ , so kann man die gesuchte Höhe am Ende berechnen durch $\begin{eqnarray*} h = \frac{\lambda r}{\cos\left( \frac{1}{3} \arccos(-\lambda) \right)} \end{eqnarray*}$ .

26.09.2012, 17:15

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nichts von dem Big Laugh

Soweit ich das jetzt aber mal noch etwas besser herausbekommen konnte, kann man die betreffende Aufgabe viel einfacher über das Cavalieri'sche Prinzip lösen, was man natürlich nach meiner Darstellung nicht erahnen konnte.

Die Aufgabe lautet sinngemäß etwa so: Aus einem Zylinder mit dem Grundflächenradius r und der höhe h wird eine Kegelfigur ausgeschnitten. Das Volumen des Restkörpers, also des Körpers der übrig bleibt nachdem der Kegel aus dem Zylinder geschält wurde, berechnet sich nach Vzylinder - Vkegel ... klar soweit. Die Formel für den Restkörper lautet demnach Teil a):
$\begin{eqnarray*} V_R = V_Z - V_K = \pi r² h - \frac{1}{3} \pi r² h = \frac{2}{3} \pi r² h \end{eqnarray*}$

Teil b) Jetzt wird die Angabe gemacht, dass h = r sein soll. Also ergibt sich für die Formel des Restkörpervolumens:
$\begin{eqnarray*} V_R = \frac{2}{3} \pi r³ \end{eqnarray*}$

Die Frage zu b) lautet nun: Wie hoch muss ein Kugelabschnitt der zu einer Kugel mit dem Radius r gehört sein, wenn gilt Kugelabschnittvolumen = Restkörpervolumen. Ich habe mir dabei erstmal folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} V_R = V_{KA} \end{eqnarray*}$ wobei die Formel für das Kugelabschnittvolumen lautet: $\begin{eqnarray*} V_{KA} = \frac{1}{3} \pi h² (3r - h) \end{eqnarray*}$ dann gleichgesetzt, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi r³ = \frac{1}{3} \pi h² (3r - h) \Leftrightarrow -2 r³ = h³ - 3r h² \end{eqnarray*}$

Und dann stand ich da und wußte nicht weiter, weswegen ich das Posting schrieb. Cardanischen Formeln hatte ich bisher noch nicht. Ich glaube das geht schon in den Bereich der komplexen Zahlen, was bisher auch noch kein Unterrichtsinhalt gewesen ist. Aber ich könnte mir vorstellen das ich in vielleicht einem halben Jahr einmal damit konfroniert werde.

Vielen Dank für Deine Mühe!

Gruß, Asca

26.09.2012, 17:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ascareth
Ich verstehe nichts von dem Big Laugh

Ja, das kommt bisweilen vor, dass man Perlen vor die Säue wirft.

-----------------------------------------

Für das Volumen $\begin{eqnarray*} V_{KA} = \frac{2}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$ , welches dem halben Kugelvolumen entspricht, ist doch sonnenklar, dass $\begin{eqnarray*} h=r \end{eqnarray*}$ herauskommt, das folgt übrigens auch aus

Zitat:

Original von Ascareth
$\begin{eqnarray*} -2 r³ = h³ - 3r h² \end{eqnarray*}$

über

$\begin{eqnarray*} 0 = h^3 - 3r h^2 + 2r^3 = (h-r)(h^2-2hr-2r^2) = (h-r)((h-r)^2-3r^2) \end{eqnarray*}$ .

Na vielleicht kann ich die obige Formel noch mal anderweitig verwenden, für jemanden, der sie wirklich braucht und zu schätzen weiß.

26.09.2012, 22:09

Ascareth

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ein Missverständnis vorliegen. Ich meine es ehrlich wenn ich sage, dass ich mich für Deine Mühe bedanke den Lösungsweg auf diese Weise darzustellen. Und wenn vielleicht auch ich selbst noch nichts damit anfangen kann, dann ist Deine Arbeit ja trotzdem eine Bereicherung für das Board. Ich bin sicher das schon Einige vor einem gleichen Problem standen und stehen werden.

Ich werde das nächste Mal die Aufgabe deutlicher darstellen.

27.09.2012, 11:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Missverständnis war es nicht, du hast letzten Endes etwas viel einfacheres gewollt, als du zunächst angefragt hast, und insofern hatte ich zu Recht das ernüchternde Fazit gezogen, dass du das obige Ergebnis "nicht zu schätzen weißt". Na egal, vergessen.

Zur Mathematik: Eine Alternativformel zu

Zitat:

Original von HAL 9000
Bezeichnet $\begin{eqnarray*} V_K = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$ das zugehörige Kugelgesamtvolumen, und setzt man $\begin{eqnarray*} \lambda = \sqrt{\frac{V}{V_K}} \end{eqnarray*}$ , so kann man die gesuchte Höhe am Ende berechnen durch $\begin{eqnarray*} h = \frac{\lambda r}{\cos\left( \frac{1}{3} \arccos(-\lambda) \right)} \end{eqnarray*}$ .

ist durch

$\begin{eqnarray*} h = h(V) = r\left( 1 - 2\cos\left( \frac{\pi+\arccos\left( 1-\frac{2V}{V_K} \right)}{3} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

gegeben. Sieht vielleicht auf den ersten Blick komplizierter aus, aber hier kann man besser die Monotonie von $\begin{eqnarray*} V\mapsto h(V) \end{eqnarray*}$ sowie die markanten Punkte $\begin{eqnarray*} h(0)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h\left(\frac{V_K}{2} \right)=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(V_K)=2r \end{eqnarray*}$ ablesen, sowie auch die Symmetrieeigenschaft $\begin{eqnarray*} h(V)+h(V_K-V)=2r \end{eqnarray*}$ .

04.02.2019, 11:55

Poggen999

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie schaue ich scheinbar gerade wie das Schwein ins Uhrwerk. Wenn ich $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{x^3}-\frac{3r}{x^2}+\frac{3V}{pi} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt nach deiner Berechnung den Casus irreducibilis anwende bekomme ich aber nicht die oben geplottete Funktion heraus. Ich wüsste auch nicht, was für p und q eingesetzt werden müsste, um darauf zu kommen, da im arccos eine 3. Potenz mit enthalten ist.

Könntest du uns das eventuell näher darstellen?

Hilfesuchende Grüße.

04.02.2019, 12:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3V}x^3 \end{eqnarray*}$ multipliziert wird daraus

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - \frac{\pi r}{V}x + \frac{\pi}{3V} \end{eqnarray*}$

Wenn man wie von mir oben empfohlen $\begin{eqnarray*} \lambda := \sqrt{\frac{V}{V_K}} \end{eqnarray*}$ mit zugehörigem Kugelvolumen $\begin{eqnarray*} V_K = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{eqnarray*}$ substitutiert, so wird daraus.

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - \frac{3}{4r^2\lambda^2}x + \frac{1}{4r^3\lambda^2}\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

bei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kennt man genau den zulässigen Wertebereich, nämlich $\begin{eqnarray*} 0\leq\lambda\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Das entspricht der quadratgliedfreien Grundgleichung $\begin{eqnarray*} x^3 + px + q = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p = -\frac{3}{4r^2\lambda^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{4r^3\lambda^2} \end{eqnarray*}$ .

Berechnung der Diskriminante: $\begin{eqnarray*} \Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{1}{64r^6\lambda^4} - \frac{1}{64r^6\lambda^6} = -\frac{1-\lambda^2}{64r^6\lambda^6} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Dieser somit vorliegende Fall $\begin{eqnarray*} \Delta\leq 0 \end{eqnarray*}$ ("casus irreducibilis") bedeutet, dass es drei reelle Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Gleichung (*) gibt.

04.02.2019, 14:41

Poggen999

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, dann hatte ich echt ein Brett vorm Kopf. Da habe ich jetzt echt was dazu gelernt mit dem multiplizieren von $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3V}x^3 \end{eqnarray*}$ , wäre mir nie so eingefallen geschockt

.

Vielen lieben Dank für diese Herleitung! smile

04.02.2019, 14:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Will man die "Originalgleichung" $\begin{eqnarray*} 0 = h^3-3rh^2+\frac{3V}{\pi} \end{eqnarray*}$ quadrattermfrei kriegen, so muss man $\begin{eqnarray*} y=h-r \end{eqnarray*}$ substituieren und bekommt dann

$\begin{eqnarray*} 0 = y^3-3r^2y-2r^3+\frac{3V}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Auch nicht einfacher, bzw. sogar etwas unangenehmer im Handling, da hier dann $\begin{eqnarray*} q = -2r^3+\frac{3V}{\pi} \end{eqnarray*}$ gar aus zwei Summanden besteht statt nur einem wie oben. Deshalb bin ich dann doch eher dem Weg über den Kehrwert gefolgt. Der Weg über dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ geht aber auch und führt zu der oben ebenfalls schon angegebenen Alternativformel

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} h = h(V) = r\left( 1 - 2\cos\left( \frac{\pi+\arccos\left( 1-\frac{2V}{V_K} \right)}{3} \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Kugelabschnitt nach Höhe umstellen

Verwandte Themen