Menge der Lösungen eines homogenen LGS ist Vektorraum

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MissLambda Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Lösungen eines homogenen LGS ist Vektorraum
Meine Frage:

Hallo zusammen,

ich strecke gerade mitten in den Examensvorbereitungen und komme bei dem Beweis des folgenden Satzes einfach nicht weiter...
Der Satz lautet:
Die Menge der Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum.

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass ich jetzt die Vektorraumaxiome der Reihe nach durchgehen muss. Dies habe ich bis jetzt wie folgt gelöst:

Voraussetzungen:
1. Der Nullvektor liegt in der Menge der Lösungen also ist die Menge nicht leer.
2. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition (a.) und der Multiplikation mit reellen Zahlen (b.)
a.
b.

Jetzt muss ich die einzelnen Vektorraumaxiome durchgehen, die wie folgt lauten:
(A1): Kommutativität
(A2): Assoziativität
(A3): Existenz eines Nullelements
(A4): Existenz eines inversen Elements

(M1): Existenz Einelement
(M2): Assoziativität
(M3): Distributivität bzgl. Skalaraddition
(M4): Distributivität bzgl. Vektoraddition

In unserem Vorlesungsskript steht zu (A1) und (A2) klar, doch leider ist mir das alles andere als klar. Kann mir da jemand helfen?

(A3) hab ich mir so überlegt, dass ja der Nullvektor in der Menge der Lösungen enthalten ist und dass er deshalb das Nullelement ist. Stimmt das?

Zu (A4)und (M1) bis (M4) habe ich leider wieder keine Ahnung und in unserem Skript steht nur wieder das sei ja klar... Also bräuchte ich auch hier etwas Hilfe.

So, das wars erstmal.
Ich hoffe ich habe Euch jetzt nicht erschlagen und ich bekomme trotzdem etwas Hilfe!
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Lösungen eines homogenen LGS ist Vektorraum
So viel muss man hier gar nicht zeigen. Die Vektoren x mit Ax=0 stammen ja aus einem Vektorraum. D.h. die ganzen Axiome A1-M4 gelten sowieso, denn die Addition von Vektoren sind ja durch diesen Vektorraum erst definiert. Was ich also meine ist, dass die Bedingung Ax=0 nicht sagt, wie man zwei Vektoren zu addieren hat. Das ist schon durch den Vektorraum festgelegt, aus dem diese Vektoren stammen. Man muss hier wirklich nur 1., 2., a. und b. zeigen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist doch bestimmt bekannt, dass für einen Körper ein Vektorraum ist (ich nehme an, soll eine Matrix sein)? Dann reicht es hier nämlich nachzuweisen, dass die Menge ein Untervektorraum ist, das entspricht bei dir den Punkten 1 und 2. Die einzelnen Vektorraumaxiome werden dann direkt vererbt und müssen nicht überprüft werden.
MissLambda Auf diesen Beitrag antworten »

Ok....verstehe ich das jetzt richtig, dass mein Beweis dann nur aus folgendem besteht?

1. Der Nullvektor liegt in der Menge der Lösungen also ist die Menge nicht leer.
2. a. Abgeschlossenheit bzgl. der Addition

und
b. Multiplikation mit reellen Zahlen



Und dass alle anderen Vektorraumaxiome gelten, weil ja die Vektoren x bereits aus einem Vektorraum stammen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In 2b hast du auf einmal ein zu viel, und die erste 0 ist auch noch nicht ganz klar. Ansonsten wäre das alles, was nötig ist, ja.
MissLambda Auf diesen Beitrag antworten »

Das war jetzt natürlich auch quatsch....

Ich meinte bei 2b natürlich folgendes:



Stimmt's jetzt so?

Jetzt macht das alles Sinn Freude Tanzen

DANKE für die Hilfe!
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

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