Transformation einer Ellipse

26.09.2012, 21:21

claritia

Transformation einer Ellipse

Meine Frage:
Durch die Gleichung

3x^2 + 3y^2 + 6xy - 3 = 0

wird eine Ellipse beschrieben.
Transformieren Sie diese geeignet, sodass ihre Hauptachsen auf den Koordinatenachsen liegen!

Meine Ideen:
Die symmetrische Matrix A lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Vektor b gibt es nicht, c = -3

Die Eigenvektoren lauten:
zum Eigenwert 6: $\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zum Eigenwert 0: $\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix ist symmetrisch, damit orthogonal diagonalisierbar.
Die normierten Vektoren :
e1= $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
e2= $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{2}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Drehmatrix P: $\begin{eqnarray*} 1/ \sqrt{2} * \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

P ist eine Drehmatrix, da die Determinante 1 ist und die Matrix orthogonal ist.

Jetzt transponiert man:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = e1 x1 + e2 y1

Nach Einsetzen kommt die Drehmatrix heraus, mit der man transponiert.

Diese setzt man dann in die Gleichung:
( x1 y1) P^t A P $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + c = 0

Es kommt am Schluss heraus:

6(x1)^2 + 0(y1)^2 = 3 ...also

$\begin{eqnarray*} \frac{(x1)^2}{(\sqrt{2})^2 } \end{eqnarray*}$ = 1

Dies ist keine Ellipse. unglücklich

Der eine Hauptachsenabschnitt lautet:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Einen anderen gibt es nicht...

Wo ist der Fehler?
Kann mir jemand helfen?

LG Claritia

26.09.2012, 21:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von claritia
3x^2 + 3y^2 + 6xy - 3 = 0

wird eine Ellipse beschrieben.

Das ist auch in der Ausgangsform keine Ellipse: Nach Division durch 3 ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 1 = x^2+y^2+2xy = (x+y)^2 \end{eqnarray*}$

was aufgelöst die Vereinigung der beiden Geraden

$\begin{eqnarray*} 1 = x+y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} -1 = x+y \end{eqnarray*}$

ergibt. Ein entsprechendes Ergebnis bekommst du ja auch als Resultat deiner Hauptachsentransformation.

26.09.2012, 21:39

claritia

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Super! Danke für Deine rasche Antwort und Zeichnung! Freude

Ich werde wegen der Aufgabenstellung noch einmal nachfragen.

LG Claritia

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