Produkt zweier Summen

27.09.2012, 13:12

halloxy

Produkt zweier Summen

Meine Frage:
Hallo, ich wollte analog zum Cauchy-Produkt das Produkt zweier Summen ausrechnen. Ich hab mir als Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 k\times \sum\limits_{l=1}^2 l \end{eqnarray*}$ genommen. Das müsste ja nach dieser Form 18 ergeben. Auch diese Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^5 \sum\limits_{l=0}^k l(k-l) \end{eqnarray*}$ müsste 18 ergeben. Wenn ich mich da nicht irre kann man ja die Obergrenzen und die Indeces addieren und dafür bei der zweiten Summe
die Obergrenze gleich dem Index der ersten Summe und den Index gleich 0 setzen. So steht es zumindest im Buch für das Produkt zweier Polynome. Natürlich ist da noch das xhochk am Ende.

Meine Ideen:
Ich bekomme mit der zweiten Form jedoch (0+1+0)+(0+2+2+0)+(0+3+4+3+0)+(0+4+6+6+4+0)=35 raus. Was habe ich falsch gemacht? Die Obergrenze der zweiten Summe ist doch abhängig vom Index der ersten oder nicht? Jedenfalls habe ich ordentlich falsch gerechnet

27.09.2012, 13:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von halloxy
Auch diese Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^5 \sum\limits_{l=0}^k l(k-l) \end{eqnarray*}$ müsste 18 ergeben.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^5 \sum\limits_{l=0}^k l(k-l) = 35 \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich hatte dein "Meine Ideen" noch gar nicht gelesen, als ich den Beitrag verfasst habe. Du hast also dort richtig gerechnet. Die seltsame Rechenregel (scheint eine Verstümmelung der Cauchy-Produktformel zu sein), mit der du auf die 18 gekommen bist, wirf am besten dorthin, wo sie hingehört: Auf den Müllhaufen

EDIT2: Falls du wirklich die Cauchy-Produktformel meinst, da hast du einiges falsch gemacht: Die lautet in ihrer endlichen Variante

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k \cdot \sum_{l=0}^m b_l = \sum_{r=0}^{m+n} \sum_{s=\max(0,r-m)}^{\min(n,r)} a_s b_{r-s} \end{eqnarray*}$

im vorliegenden Fall hättest du also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^5 \sum\limits_{l=\max(0,k-2)}^{\min(3,k)} l(k-l) = \sum\limits_{k=2}^5 \sum\limits_{l=k-2}^{\min(3,k)} l(k-l) = (0+1+0) + (2+2+0) + (4+3) + (6) = 18 \end{eqnarray*}$

rechnen müssen, damit es mit dem Produkt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 k\cdot \sum\limits_{l=1}^2 l \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

27.09.2012, 13:55

halloxy

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Ja, ich hab auch schon auf wikipedia geschaut. Was genau ist denn jetzt falsch an der Formel? Bei mir im Buch steht bei Produkt zweier Polynome folgendes:
(pq)(x)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^m \sum\limits_{j=0}^n aibjx^{i+j} = \sum\limits_{k=0}^n (\sum\limits_{l=1}^k al\times bk-l)x^{k} \end{eqnarray*}$

Wobei beim zweiten Term nicht n sondern halt m+n als Obergrenze steht und außerdem bei aibj das i und j Indeces sind, genau wie l und k-l beim zweiten Term. Kann mir vielleicht jemand sagen, wie man Indeces darstellt?

Jedenfalls wurde ja bei xhoch i+j das i+j zu k zusammengefasst. wenn ich das richtig verstanden habe die Indeces auch. so habe ich beim Produkt zweier Summen auch gerechnet. Ist jetzt die Formel für die Polynome falsch?

27.09.2012, 13:57

HAL 9000

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Meinen EDIT2 hast du offenbar noch nicht gelesen.

27.09.2012, 14:01

halloxy

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Ja genau vielen dank. Ich versuch das jetzt mal zu verdauen. Ich schätz mal die haben im Buch NICHT die Indeces addiert.

27.09.2012, 14:08

halloxy

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Also das mit dem min (...) und max (...) versteh ich nicht. Ist das ein Intervall?

27.09.2012, 14:33

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \min(a,b) \end{eqnarray*}$ ist der kleinere der beiden Werte $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , entsprechend dann $\begin{eqnarray*} \max(a,b) \end{eqnarray*}$ der größere.

Vielleicht verstehst du es "bildlich": In dem folgenden $\begin{eqnarray*} (k,l) \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem habe ich schwarz die Indexpaare eingezeichnet, über die in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 k\cdot \sum\limits_{l=1}^2 l \end{eqnarray*}$ summiert werden muss:

[attach]26001[/attach]

Du hast aber in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=2}^5 \sum\limits_{s=0}^r s(r-s) \end{eqnarray*}$ (ich benenne die Indizes mal anders, um keine Variablenverwirrung zu den originalen k,l anzurichten) nicht nur über diese (k,l)-Punkte summiert, sondern zusätzlich auch noch über die roten und blauen - bei letzteren hat es nix ausgemacht, da dort der Summand gleich Null war. Die vier roten allerdings haben die Summe um die nicht zugehörigen $\begin{eqnarray*} 1\cdot 3+1\cdot 4 + 2\cdot 3 + 4\cdot 1 = 17 \end{eqnarray*}$ aufgebläht.

27.09.2012, 15:01

halloxy

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vor dem (0+1+0)... fehlt da im Index das '(' oder noch mehr? Ich meine beim post davor.

27.09.2012, 15:08

HAL 9000

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Meinst du das mit dem $\begin{eqnarray*} l=k-2) \end{eqnarray*}$ ? Gut aufgepasst, da war eine schließende Klammer zuviel übriggeblieben - habe ich nunmehr entfernt.

27.09.2012, 15:10

halloxy

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alles klar, danke nochmal, ich kapier das zwar noch net ganz, guck es mir aber aufm blatt an. finds auf jeden fall komisch dass das bei dem Produkt von Polynomen net dabei steht. Aber mein Buch unterschlägt sowieso gern mal was.

27.09.2012, 15:14

HAL 9000

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Kann es sein, dass du nur das Cauchy-Produkt von Reihen betrachtet hast, also den Fall $\begin{eqnarray*} m=n=\infty \end{eqnarray*}$ ? In dem Fall stimmt natürlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot \sum_{l=0}^{\infty} b_l = \sum_{r=0}^{\infty} \sum_{s=0}^{r} a_s b_{r-s} \end{eqnarray*}$ ,

sofern die beiden Ausgangsreihen absolut konvergent sind.

EDIT: Bisweilen habe ich auch eine recht lange Leitung, denn erst jetzt dämmert mir, wo dein Irrtum liegt. Die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k \cdot \sum_{l=0}^m b_l = \sum_{r=0}^{m+n} \sum_{s=0}^{r} a_s b_{r-s} \end{eqnarray*}$

ist durchaus anwendbar - ABER NUR, wenn man die Original-Summenglieder außerhalb des Gültigkeitsbereichs der Summen links gleich Null setzt, d.h.,

$\begin{eqnarray*} a_k = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_l = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} l>m \end{eqnarray*}$ .

Genau dies hast du in

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 k\cdot \sum_{l=0}^2 l \stackrel{?}{=} \sum_{r=0}^5 \sum\limits_{s=0}^r s(r-s) \end{eqnarray*}$

rechts leider nicht berücksichtigt. Es ist zugegebenermaßen auch etwas schwierg, das in einer Zeile richtig aufzuschreiben, irgendwie so ähnlich wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^3 k\cdot \sum_{l=0}^2 l =\sum_{r=0}^5 \sum\limits_{s=0}^r \left\{ \begin{array}{ll} s & \;\mbox{falls}\, 0\leq s\leq 3 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{array} \right\} \cdot \left\{ \begin{array}{ll} r-s & \;\mbox{falls}\, 0\leq r-s\leq 2 \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{array} \right\} \end{eqnarray*}$ .

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