Grenzwert beweisen

27.09.2012, 13:18

Gast11022013

Grenzwert beweisen

Meine Frage:
Hallo, liebe MatheboardlerINNEN, ich habe hier mal wieder eine Analysis-Aufgabe und dazu meine Beweisidee, von der ich gerne wüsste, ob sie korrekt ist.

Sei $\begin{eqnarray*} q=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}_{+} \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{q}}=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^q}=\left(\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\right)^m \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^q}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\cdot\hdots\cdot\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}}_{m\mbox{ - mal}}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man den Limes eines Produkts m.W. als Produkt der Grenzwerte der Faktoren schreiben, also:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\left(\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\cdot\hdots\cdot\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}}_{m\mbox{ - mal}}\right)=\underbrace{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\right)\cdot\hdots\cdot\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\right)}_{m\mbox{ - mal}} \end{eqnarray*}$

Nach dieser bewiesenen Aussage müsste dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\right)\cdot\hdots\cdot\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{n}}\right)}_{m\mbox{ - mal}}=\underbrace{\sqrt[n]{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}\cdot\hdots\cdot\sqrt[n]{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}}_{m\mbox{ - mal}} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{q}}=\underbrace{\sqrt[n]{1}\cdot\hdots\cdot\sqrt[n]{1}}_{m\mbox{ - mal}}=1 \end{eqnarray*}$

27.09.2012, 13:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Sei $\begin{eqnarray*} q=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}_{+} \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{q}}=1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ soll sich also im Grenzprozess auch mit ändern? Ich finde es schon sehr verwirrend, das so zu schreiben - warum dann nicht gleich

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{n^m}=1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

27.09.2012, 15:11

Gast11022013

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Vielleicht handelt es sich auch um einen Schreibfehler in der Aufgabe und der Nenner bei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ soll nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein.

Edit:

Ich habe gerade nochmal in den Unterlagen nachgesehen. Tatsächlich soll $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht vom Folgenindex abhängen und die Bezeichnung ist unglücklich gewählt.

27.09.2012, 15:45

tmo

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Letztendlich ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \to 1 \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Dann hat man zunächst für $\begin{eqnarray*} q = \frac{1}{s} \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} 1 \leq \sqrt[n]{n^{\frac{1}{s}}} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ das Gewünschte und für $\begin{eqnarray*} q = \frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ ist es dann nur noch einer der Grenzwertsätze.

27.09.2012, 17:25

Gast11022013

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Ich weiß leider nicht genau, wie Du das meinst.

27.09.2012, 20:13

HAL 9000

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Eigentlich soll das nur sagen, dass der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

genügt, deine Aussage ist dann lediglich eine kleine Folgerung.

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