Addition von Vektoren (Aufgabe zur Modulation)

27.09.2012, 13:39

fontsix

Addition von Vektoren (Aufgabe zur Modulation)

Hallo zusammen. Ich hätte da eine spezielle Aufgabe aus der Elektrotechnik bei der es um die Addition (Überlagerung von Sinus und Cosinus-Schwingung) von Vektoren geht.

Geben sind zwei Schwingungen, Sinus und Cosinus, jeweils mit der gleichen Frequenz von 300 kHz die überlagert werden sollen. Die Amplitude der Cosinus-Schwingung ist 9 V, die Phasenverschiebung zur Referenzphase ist -45°. Die Sinus Schwingung hat die Amplitude 12 V und eine Phasenverschiebung von 135° zur Referenzphase der entsprechenden Schwingung.

Die gegebenen Amplituden entsprechen der Länge des jeweiligen Zeigers.

Nun meine Frage zu einem Phasenwinkel. Da ist die Frage nach dem Phasenwinkel, bezogen auf die Referenz-Phase von 0° der Sinus-Schwingung. Diesen Winkel würde ich einfach hier ablesen.

http://www.pic-upload.de/view-16211764/modi.png.html

So weit alles korrekt ?

27.09.2012, 14:05

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Addition von Vektoren (Aufgabe zur Modulation)
Für mich sieht alles richtig aus - bis auf den seltsamen Umstand, daß Du die Referenzphase eines Sinus auf 270° statt die üblichen 90° legst. Warum denn dieses?

Viele Grüße
Steffen

27.09.2012, 14:17

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich weiß auch nicht. Ich bin da gerade etwas unsicher. Also wird dir Sinus doch auf der y-Achse abgetragen.

Dann sieht ja das resultierende Zeigerbild völlig anders aus und beide Zeiger liegen übereinander ?

http://www.pic-upload.de/view-16211931/modi2.png.html

Das verwirrt mich gerade sehr.

27.09.2012, 14:38

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast den Cosinuszeiger mit der richtigen Phase gezeichnet, also 0°-45°=-45°.

Beim Sinuszeiger sind aber +135° von der Referenz angegeben, also 90°+135°=225°. Du scheinst die 135° jedoch abgezogen zu haben...

Viele Grüße
Steffen

27.09.2012, 14:42

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin eben davon ausgegangen das mein nach oben gerichteter Sinuszeiger die Referenz ist, also 0°. Deswegen habe ich ja auch die 135° vom Sinuszeiger aus gemessen.

Also ist die Referenz sozusagen immer die Waagerechte x-Achse ? Ich hatte nämlich jeweils den Cosinus und den Sinus Seperat als Referenz angenommen.

27.09.2012, 14:56

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fontsix
Ich bin eben davon ausgegangen das mein nach oben gerichteter Sinuszeiger die Referenz ist, also 0°. Deswegen habe ich ja auch die 135° vom Sinuszeiger aus gemessen.

Ja, aber im Uhrzeigersinn, also mathematisch negativ! Deshalb bist Du auf dem anderen Zeiger gelandet.

Zitat:

Original von fontsix
Also ist die Referenz sozusagen immer die Waagerechte x-Achse ? Ich hatte nämlich jeweils den Cosinus und den Sinus Seperat als Referenz angenommen.

Die Referenz kannst Du letzendlich hinlegen, wohin Du willst, das Diagramm dreht sich nur entsprechend. Am einfachsten ist es natürlich, sie auf 0° zu legen. Und dann steht ein Cosinuszeiger halt erstmal auf 0°, ein Sinuszeiger auf 90°.

Ich persönlich finde es zwar enorm verwirrend, von Cosinus- und Sinuszeigern zu reden anstatt einfach von Zeigern, die in einem bestimmten Winkel zu einer Referenz stehen, aber wenn das so in der Aufgabe steht, muß man halt so rechnen. Und die 90° zwischen cos und sin berücksichtigen, was Du ja schließlich auch getan hast.

Wie gesagt, es war alles richtig, nur Deine Sinusreferenz muß nach oben statt nach unten zeigen.

Viele Grüße
Steffen

27.09.2012, 15:32

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Hilfe, aber verzweifel bald an diesen Aufgaben. Ich werde jetzt nochmal eine ähnliche Aufgabe nennen und versuchen Sie so zu lösen wie du es mir gerade erklärt hast.

Die Trägerschwingung wird durch Überlagerung von einer Sinus-Schwingung und einer Cosinus-Schwingung jeweils mit der Freuqenz 1 MHz erreicht Die Amplitude der Cosinus-Schwingung ist 2 * Wurzel (2 V), die Sinus-Schwingung hat ebenfalls die Amplitude. Die Phasenverschiebung zur Referenz-Phase ist bei beiden Schwingungen 135°

Das ist mein Ergebnis

http://www.pic-upload.de/view-16212658/modi3.png.html

Gibt es nun noch eine Möglichkeit das ganze rechnerisch zu Überprüfen ?

Ich meine die resultierende Zeigerlänge oder Amplitude kann man ja über

$\begin{eqnarray*} \sqrt{U_{1}^{2} + U_{2}^{2} } = \sqrt{(2\cdot \sqrt{2} )^{2} + (2\cdot \sqrt{2} )^{2}} = 4 V \end{eqnarray*}$

ausrechnen, aber wie ermittle ich den Winkel rechnerisch ?
Wenn ich rechne

$\begin{eqnarray*} arctan(\frac{2\cdot \sqrt{2} }{2\cdot \sqrt{2}} ) = 45° \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle fällt es mir noch schwer den richtigen Winkel auszurechnen. Hier musste man doch irgendwas mit den Quadranten beachten oder ?

Kann man den resultierenden Zeiger nicht auch relativ einfach durch komplexe Rechnung ermitteln und hatt dann direkt den Betrag und den Winkel ?

Die Frage in der Aufgabe lautet ja noch,

Welche Amplitude hat die resultierende Trägerschwingung, wie ist der Phasenwinkel bezogen auf die Referenz-Phase von 0° der Cosinus-Schwingung ?

MfG fontsix

27.09.2012, 15:44

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis ist richtig.

Zitat:

Original von fontsix
Gibt es nun noch eine Möglichkeit das ganze rechnerisch zu Überprüfen ?

Wie Du schon vermutest: mit komplexen Zahlen:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt2e^{i135°} + 2\sqrt2e^{i225°} \end{eqnarray*}$

Die beiden Terme zerlegst Du in Real- und Imaginärteil, addierst den ganzen Kram und erhältst ein komplexes Ergebnis. Dessen Winkel bekommst Du über die atan2-Funktion, oder zu Fuß mit der Fallunterscheidung über die Quadranten.

Viele Grüße
Steffen

27.09.2012, 16:30

fontsix

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sagst das Ergebnis 4 V und 45° ist richtig. Der Winkel zur Referenzphase beträgt doch aber 180° und nicht 45°. Also der Phasenwinkel des resultierenden Zeigers bezogen auf die Referenz-Phase von 0° der Cosinus-Schwingung.

Wenn ich die komplexe Rechnung mal schnell im Taschenrechner durchrechne komme ich auf die Werte

1,77843 - 3,38076 i

und das entspricht einem Betrag von 2,97 V und einem Winkel von -126,76°

Da stimmt doch irgendetwas ganz gewaltig nicht und ich werde immer verunsicherter. unglücklich

27.09.2012, 16:52

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fontsix
Du sagst das Ergebnis 4 V und 45° ist richtig.

Da hast Du mich falsch verstanden. Deine Grafik ist richtig. Dann erst bin ich drauf eingegangen, wie man's generell rechnet.

Der Winkel einer komplexen Zahl ist der atan(Im/Re), von den Fallunterscheidungen abgesehen. Im und Re mußt Du also erst berechnen. Und das sind nicht die beiden Beträge der Schwingungen, wie Du gerechnet hast!

Weil Du's bist:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt2e^{i135°} + 2\sqrt2e^{i225°} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\sqrt2 (e^{i135°} + e^{i225°}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\sqrt2 (cos135° + isin135° + cos225° + isin225°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\sqrt2 (-0,707 +0,707i -0,707 -0,707i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\sqrt2 (-1,414) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -4 \end{eqnarray*}$

Du siehst, wir haben Glück: der Imaginärteil ist weg, das Ergebnis ist eine negative reelle Zahl. Und die hat den Winkel 180°. Da brauchen wir den Arcustangens und die Fallunterscheidungen nicht, denn das ist klar, oder?

Viele Grüße
Steffen

Neue Frage »

Antworten »

Addition von Vektoren (Aufgabe zur Modulation)

Verwandte Themen