Rang eines Vektorsystems mit einer Unbekannten

27.09.2012, 16:21	Designori	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang eines Vektorsystems mit einer Unbekannten Meine Frage: Hey ich steh vor folgendem Beispiel: Für welche alpha Element R hat das Vektorsystem den Rang 3? $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich drücke mir den dritten Vektor als Linearkombination der ersten beiden Vektoren, bei denen alpha ein Eintrag ist, aus und hab dann 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das kann ich dann lösen und die Lösungen dieses Gleichungssystems sind eben jene alpha, bei denen das Vektorsystem nicht den Rang 3 hat.
28.09.2012, 15:05	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ob das LGS den vollen Rang (Rang 3) kann man mit folgender Gleichung ermitteln: $\begin{eqnarray} \lambda_1 \cdot V_1 + \lambda_2 \cdot V_2 + \lambda_3 \cdot V_3=0 \end{eqnarray}$ Existiert nur die triviale Lösung ( $\begin{eqnarray} V_1=V_2=V_3=0 \end{eqnarray}$ ), dann sind die Vektoren linear unabhängig. Mit freundlichen Grüßen.
30.09.2012, 12:33	desig.nori	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm aber wenn ich so vorgehe hab ich 3 Gleichungen aber 4 Variablen. Wie soll ich das dann lösen?
30.09.2012, 16:57	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast dann ein Gleichungssystem mit 3 Variablen und einem Paramter. Ich würde versuchen, das Gleichungssystem in Stufenform zu bringen. Ich habe am Ende einen derartigen Ausdruck herausbekommen (nur Beispiel): $\begin{eqnarray} \Bigg( (1+3a) - \frac{(1-a) \cdot (1+2a)}{2+4/5a} \Bigg) \cdot \lambda_3=0 \end{eqnarray}$ Dann habe ich geschaut, für welches a hat die Gleichung eine Lösung, wenn $\begin{eqnarray} \lambda_3 \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Soweit meine Idee.

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