Frage zu Epsilon-Delta-Beweis Stetigkeit.

27.09.2012, 16:43

Christian_P

Frage zu Epsilon-Delta-Beweis Stetigkeit.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall \,\epsilon >0\;\; \exists\, \delta >0 \; : \left|x-5\right|<\delta \Rightarrow \left| x^2-25\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier praktisch am besten vor?

Ich habe nun durch probieren mit dem Taschenrechner herausgefunden das:

$\begin{eqnarray*} \forall \,\epsilon >0\;\; \exists\, \delta=\epsilon^2 \; : \left|x-5\right|<\epsilon^2 \Rightarrow \left| x^2-25\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

z.B. Wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \delta = 0,01 \end{eqnarray*}$ zu wählen, denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} \left|x-5\right|<0,01 \Rightarrow \left| x^2-25\right| < 0,1 \end{eqnarray*}$

Liege ich hier wenigestens grob richtig, oder habe ich mich völlig vertan?

Und wie kann ich am besten vorgehen, um ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu finden? Ich finde das noch ziemlich mühselig.

lg

27.09.2012, 17:02

Che Netzer

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RE: Frage zu Epsilon-Delta-Beweis Stetigkeit.
Hallo,

dein Delta stimmt noch gar nicht.
Wähle z.B. $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ .

Als Ansatz verwende $\begin{eqnarray*} \lvert x^2-25\rvert=\lvert x-5\rvert\lvert x+5\rvert\overset!<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Obwohl ich hier aber die Stetigkeit über Grenzwertbildung zeigen würde...

mfg,
Ché Netzer

27.09.2012, 17:32

Christian_P

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danke Ché Netzer!

$\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert\lvert x+5\rvert<\varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert< \delta \Rightarrow \lvert x-5\rvert<\frac{\varepsilon}{\lvert x+5\rvert} \end{eqnarray*}$

x ist in der Umgebung von 5.

dann wäre $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{\lvert x+5\rvert} \end{eqnarray*}$

wenn nun x gegen 5 geht.

$\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{10} \end{eqnarray*}$

wäre die Idee gut? smile

27.09.2012, 18:38

Che Netzer

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Zumindest schon sehr viel besser.
Ich würde $\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert\lvert x+5\rvert\leq\lvert x-5\rvert(\lvert x-5\rvert+10)\overset!<\varepsilon \end{eqnarray*}$ abschätzen und dann $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bestimmen, indem du in dieser Ungleichung $\begin{eqnarray*} \delta=\lvert x-5\rvert \end{eqnarray*}$ ersetzt.
Da $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ hast du genau eine positive Lösung $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ der entsprechenden Gleichung.

27.09.2012, 18:41

shipwater

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Tipp: Einfacher macht man es sich, wenn man sich von vorneherein auf $\begin{eqnarray*} \delta \leq 1 \end{eqnarray*}$ einschränkt. Dann kann man $\begin{eqnarray*} |x-5|^2 \end{eqnarray*}$ nämlich durch $\begin{eqnarray*} |x-5| \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

Gruß Shipwater

28.09.2012, 08:24

Christian_P

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$\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert\lvert x+5\rvert\leq\lvert x-5\rvert(\lvert x-5\rvert+10)<\varepsilon \end{eqnarray*}$

und es gilt $\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert\leq \delta \end{eqnarray*}$ also höchstens $\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert= \delta \end{eqnarray*}$

Die rechte Seite der Ungleichung von oben ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \delta(\delta+10)\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ also auch höchstens gleich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta(\delta+10)=\varepsilon \Leftrightarrow \delta^2+10\delta-\varepsilon=0 \end{eqnarray*}$ hat die positive Lösung: $\begin{eqnarray*} \delta=\sqrt{25+\varepsilon}-5 \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \delta\leq\sqrt{25+\varepsilon}-5 \end{eqnarray*}$ ist die Forderung erfüllt.

Ich hoffe es ist halbwegs richtig! verwirrt

@shipwater: Kann ich deinen Tipp genauso einsetzten?

28.09.2012, 09:31

Che Netzer

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Ja, wenn ich mich nicht irre, müsste das stimmen. Freude

Machen wir mal einen Test.
Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=11 \end{eqnarray*}$ haben wir damit $\begin{eqnarray*} \delta=1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \lvert6^2-25\rvert=11 \end{eqnarray*}$ - passt smile

Mit shipwaters Tipp müsstest statt der quadratischen Gleichung nur $\begin{eqnarray*} \delta+10\delta=\varepsilon \end{eqnarray*}$ lösen, d.h. du würdest $\begin{eqnarray*} \delta=\min\left\{1,\frac\varepsilon{11}\right\} \end{eqnarray*}$ benutzen.
Mit "unserer" Variante hast du aber immer das exakt scharfe Delta. Augenzwinkern

Sieht man auch schön, denn $\begin{eqnarray*} x=5+\delta \end{eqnarray*}$ liegt genau am "Rand" der Delta-Umgebung und es ist $\begin{eqnarray*} \lvert(5+\delta)^2-25\rvert=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

PS: Dass im Falle $\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert=\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \lvert x^2-25\rvert=\varepsilon \end{eqnarray*}$ folgt, ist natürlich kein Stetigkeitsbeweis. Das mache ich nur unter der Annahme, dass die Stetigkeit schon gezeigt wurde, um zu überprüfen, ob die Konstante scharf gewählt ist.

28.09.2012, 15:10

Christian_P

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super!

Ich hätte nochmal ne Frage zu diesem Schritt, den ich oben gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} \lvert x-5\rvert< \delta \Rightarrow \lvert x-5\rvert<\frac{\varepsilon}{\lvert x+5\rvert} \end{eqnarray*}$

Die linken Seiten der Ungleichungen sind gleich, also müssen doch auch die rechten Seiten gleich sein.

darum $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{\lvert x+5 \rvert} \end{eqnarray*}$

wenn nun x gegen 5 geht, hätte man $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{10} \end{eqnarray*}$

damit ich nun sicher kleiner bin könnte man z.B. $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ noch etwas kleiner machen.

$\begin{eqnarray*} \delta'=\frac{\varepsilon}{11}<\frac{\varepsilon}{10}=\delta \end{eqnarray*}$

Wäre das auch eine richtige Überlegung?

lg

28.09.2012, 15:41

Che Netzer

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Zitat:

[i]Original von Christian_P[/i
Die linken Seiten der Ungleichungen sind gleich, also müssen doch auch die rechten Seiten gleich sein.

Das stimmt nicht, siehe $\begin{eqnarray*} 1<2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1<3 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 2\neq3 \end{eqnarray*}$ . Du könntest aber die Transitivität nutzen und
$\begin{eqnarray*} \delta\leq\frac\varepsilon{\lvert x+5\rvert} \end{eqnarray*}$
fordern/setzen.

Zitat:

wenn nun x gegen 5 geht, hätte man $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\varepsilon}{10} \end{eqnarray*}$

Du kannst aber auch nicht $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ setzen. $\begin{eqnarray*} \tfrac\varepsilon{10} \end{eqnarray*}$ ist für KEIN Epsilon ein sinnvolles Delta.
$\begin{eqnarray*} \left\lvert\left(5+\tfrac\varepsilon{10}\right)^2-25\right\rvert=\left\lvert\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{100}\right\rvert>\varepsilon\,. \end{eqnarray*}$

Wenn du stattdessen sagst, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nahe bei der Fünf liegt (genauer: in einer $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung), kommst du genau auf die "quadratische Ungleichung", die wir davor schon hatten.
$\begin{eqnarray*} \frac\varepsilon{11} \end{eqnarray*}$ zu raten geht auch nicht, das ist kein Beweis für irgendwas.

28.09.2012, 18:33

Christian_P

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Und ich dachte, da hätte ich mal einen Geistesblitz! Big Laugh

Dann nehme ich doch lieber die quadratische Gleichung zum herleiten des Beweises.

danke dir!

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