ONB finden, Projektion und Darstellung mit Eigenvektoren

27.09.2012, 19:07

claritia

ONB finden, Projektion und Darstellung mit Eigenvektoren

Meine Frage:
Aufgabe

1.) Finden Sie eine ONB des Raumes, der von den Vektoren (1; 1; 0; 0)^t; (2; 2; 3; 3)^t; (3; 2; 3; 2)^t aufgespannt wird.

2.) Bestimmen Sie außerdem die Projektion der Vektoren w1 := (1; 1; 1; 0)^t und w2 := (1; 0; 0; 1)^t auf diesen Unterraum des R^4.

3.) Finden Sie eine Darstellung von w1; w2 als Summe von Eigenvektoren der Projektion.

Meine Ideen:
1.)
Die gesuchte ONB ergibt sich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren:

$\begin{eqnarray*} b1 = 1\sqrt{2} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b2 = 1\sqrt{2} * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b3 = 1\sqrt{2} * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.)
Die Projektionen der Vektoren w1 und w2 habe ich auch ausgerechnet:

Projektion mit Hilfe der b1,b2,b3 Vektoren:
Projektion von w1: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} * \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Projektion von w2: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3.)
Wie rechnet man die Darstellung von w1 und w2 als Summe von Eigenvektoren der Projektion aus?
Für w1 habe ich:

<w1b1> = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

<w1b2> = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{18} } \end{eqnarray*}$

<w1b3>= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 } \end{eqnarray*}$

Meine Summe lautet:

w1 = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ b1 + $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{18} } \end{eqnarray*}$ b2 + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 } \end{eqnarray*}$ b3

Für w2 habe ich:

<w2b1> = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

<w2b2> = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{18} } \end{eqnarray*}$

<w2b3> = 0

Meine Summe lautet:

w2 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ b1 + $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{18} } \end{eqnarray*}$ b2 + 0 b3

Ist das richtig? smile

LG Claritia

28.09.2012, 11:26

claritia

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Hallo,
ich habe das Lösungsblatt zu dieser Aufgabe bekommen.

Die Lösungen für die Teilaufgaben 1 und 2 hab ich auch so.
Zur dritten Teilaufgabe:

Man braucht nur noch einen Vektor b4 der senkrecht auf der Ebene steht und ergänzt diesen zur einer ONB des R^4.
Der vierte Vektor ergibt sich nach Gram-Schmidt, wie in der Lösung:

b4 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe den Ausgangsvektor a4 über Vektorprodukt zwischen (1; 1; 0; 0)^t und (2; 2; 3; 3)^t gerechnet.

Die Darstellung von w1, w2 als Summe von Eigenvektoren der Projektion ergibt sich bei mir folgendermaßen:

w1 = Projektion von w1 - 1/2 b4

w2= Projektion von w2 - b4

Jedoch in der Lösung steht:

w1 = Projektion von w1 -1/4 b4
w2 = Projektion von w2- 1/2 b4

Hab ich einen Fehler? verwirrt

Vielen Dank für eine Antwort!

LG Claritia

02.10.2012, 12:40

jester.

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Hallo,

deine Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ stimmen, auch wenn ich nicht verstehe, wie du das Vektorprodukt verwendet haben willst, das geht nur im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .
Die Projektionen, die du in Teilaufgabe 2 ausgerechnet hast, sind auch richtig.

Nun zu Teilaufgabe 3

Zitat:

Die Darstellung von w1, w2 als Summe von Eigenvektoren der Projektion ergibt sich bei mir folgendermaßen:

w1 = Projektion von w1 - 1/2 b4

w2= Projektion von w2 - b4

Wir rechnen nach, $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bezeichne die Projektion.

$\begin{eqnarray*} \pi(w_1)-\frac{1}{2}b_4 = \frac{1}{4} \begin{pmatrix}5\\3\\3\\1\end{pmatrix}-\frac{1}{4}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4\\4\\4\\0\end{pmatrix} = w_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi(w_2)-b_4 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\2\\2\\0 \end{pmatrix} \neq w_2 \end{eqnarray*}$

Dein erstes Ergebnis ist also richtig, das zweite ist falsch. Was ist passiert? Ein Vorzeichenfehler. In der Tat ist $\begin{eqnarray*} w_2= \pi(w_2) +b_4 \end{eqnarray*}$ .

In Darstellung als Summe von Eigenvektoren der Projektion schreibst du noch

Zitat:

Den Vektor der senkrecht auf der Ebene steht, muss man ergänzen...Aber ich weiß nicht, warum?

Die drei Vektoren, die den Unterraum aufspannen, auf den wir projizieren, sind Eigenvektoren der Projektion. Wir brauchen jedoch noch einen Eigenvektor, um eine Basis des gesamten $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ zu erhalten. Ein Vektor, der senkrecht auf den genannten Unterraum steht, ist ebenfalls ein Eigenvektor der Projektion, zum Eigenwert 0, und er ist sicherlich linear unabhängig zu den den drei Basisvektoren des Unterraums.

Klärt das all deine Fragen?

02.10.2012, 20:34

claritia

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Vielen Dank für Deine Antwort smile

Du hast dir viel Mühe gegeben...und ich verstehe es.

Zitat:

deine Vektoren bis stimmen, auch wenn ich nicht verstehe, wie du das Vektorprodukt verwendet haben willst,

Ich habe irgendeinen lineare unabhängigen Vektor zu b1 b2 und b3 mir gesucht, z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und habe dann mit Gram-Schmidt b4 ausgerechnet.

So kam ich jeweils auf diesen gesuchten Vektor b4.

Der b4 ist eine Projektion auf den Unterraum des R^4. Diese 4 l.u. Vektoren spannen den R^4 auf.

Zu w1 und w2 als Summe von den Eigenvektoren der Projektion:

Ich habe es nachgerechnet, verstanden und den Vorzeichenfehler gefunden. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, zudem die Lösung auch nicht stimmte.
Zwei Fragen haben sich ergeben:

1.)
Warum ist b4 die Projektion des Eigenvektors zum Eigenwert 0 ?
Idee: Weil b4 senkrecht auf der Ebene steht (Skalarprodukt = 0)

2.)
Warum sind die b1, b2, b3 Vektoren (spannen den UR auf) Eigenvektoren zum Eigenwert 1?

Ist das so ähnlich, wenn man bei einer Spiegelmatrix (ist symmetrisch und orthogonal) die Spiegelebene rechnen soll und dann nur der Eigenwert 1 dafür hergenommen werden kann? Mit dem EW 1 wird hier mit den Basisvektoren eine Ebene aufgespannt.
Bei dem Eigenwert -1 wird die Spiegelgerade ausgerechnet.

Hoffentlich kannst du mir nochmal helfen smile

Vielen Dank
Liebe Grüße Claritia

03.10.2012, 12:10

jester.

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Zitat:

Original von claritia

Zitat:

deine Vektoren bis stimmen, auch wenn ich nicht verstehe, wie du das Vektorprodukt verwendet haben willst,

Unter Vetkorprodukt verstehe ich diese Funktion - von der ich mir nicht merken kann, wie man sie berechnet - die zu zwei l.u. Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ einen zu diesen beiden Vektoren orthogonalen Vektor dieses Raums liefert. Aber das gibt es wie gesagt nur im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , siehe hier
Ok, der verlinkte Artikel sagt, dass es das auch im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt. Wieder was gelernt. Aber schön ist es nicht. Big Laugh

Zitat:

Der b4 ist eine Projektion auf den Unterraum des R^4. Diese 4 l.u. Vektoren spannen den R^4 auf.

Nein, $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ ist keine Projektion auf den von $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ erzeugten Unterraum. Vielmehr liegt $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ im Kern der Projektion auf diesen Raum (Achtung: wir benutzen gerade das Wort "Projektion" sowohl für die Projektionsabbildung als auch für Bilder unter ihr).

Zitat:

Zwei Fragen haben sich ergeben:

1.)
Warum ist b4 die Projektion des Eigenvektors zum Eigenwert 0 ?
Idee: Weil b4 senkrecht auf der Ebene steht (Skalarprodukt = 0)

Ok, schauen wir uns das doch mal genauer an.
Sei $\begin{eqnarray*} U:=\mathrm{span}\{ b_1, b_2, b_3 \} \end{eqnarray*}$ der fragliche Unterraum und $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray*}$ bereits eine Orthonormalbasis. Dann kann man die Projektion $\begin{eqnarray*} \pi_U \end{eqnarray*}$ auf den Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ wie folgt ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} \pi_U(b_4) = \sum_{i=1}^3 \langle b_i , b_4 \rangle b_i = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ steht.

Zitat:

2.)
Warum sind die b1, b2, b3 Vektoren (spannen den UR auf) Eigenvektoren zum Eigenwert 1?

Das bekommt man natürlich auch aus der obigen Formel:
für $\begin{eqnarray*} 1\leq \ell \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \pi_U(b_\ell) = \sum_{i=1}^3 \langle b_i, b_\ell \rangle b_i = \sum_{i=1}^3 \delta_{i , \ell} b_i = b_\ell \end{eqnarray*}$ .
Das geht aber auch allgemein ohne Skalarprodukt, sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum irgendeines Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W\leq V \end{eqnarray*}$ ein Komplement, also $\begin{eqnarray*} V=U\oplus W \end{eqnarray*}$ .
Dann hat man ja die Projektion als
$\begin{eqnarray*} \pi_U ~:~ V \to U, ~ v=u+w \mapsto u \end{eqnarray*}$
und alles, was schon in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt, ist automatisch Eigenvektor zum Eigenwert 1.

04.10.2012, 22:31

claritia

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Vielen Dank für deine tolle Antwort. smile

Jetzt sind alles Unklarheiten beseitigt und ich habe keine Frage mehr.

So eine gute Erklärung - in keinem Buch habe ich so etwas gefunden (und ich habe mittlerweile einige^^).

Liebe Grüße Claritia

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