Mikroökonomie, Preis im Gleichgewicht bestimmen.

28.09.2012, 14:56

Mikrofrage

Mikroökonomie, Preis im Gleichgewicht bestimmen.

Meine Frage:
Hi

Ich habe ein Problem im Fach VWL. Es ist zwar ein Matheforum, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen.

Folgende Aufgabe habe ich:
n identische Unternehmen stehen auf einem Markt für Mofas im Mengenwettbewerb. Die Nachfragefunktion für das Gut sei durch p(x =60-2x gegeben. Alle Unternehmen weisen identische Grenzkosten in Hohe von 4 auf. Welcher Preis ergibt sich im Gleichgewicht?

Meine Ideen:
Ich bin momentan krank und war nicht in der Schule und deswegen fehlt mir der Ansatz.
Wenn ich zwei Unternehmen hätte, dann wüsste ich was zu tun ist. Bei zwei Unternehmen würde ich zwei Reaktionsfunktionen aufstellen und dann jeweils die Mengen x einsetzen.
Aber das "n" in der Aufgabenstellung verwirrt mich und deswegen habe ich nicht einmal einen Ansatz.

28.09.2012, 22:23

Kasen75

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Hallo,

der Gewinn eines einzelnen Unternehemns (Unternehmen 1) ist:

$\begin{eqnarray*} G_1=x_1 \cdot p_1-4 \cdot x_1 \end{eqnarray*}$

Es könnte auch das Unternehmen 2 oder jedes andere Unternehmen sein.

Die obige Gleichung setzt sich aus Erlös - Kosten zusammen. Den Ausdruck für den Preis $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt:

$\begin{eqnarray*} =x_1 \cdot (60-2 \cdot \sum_{i=1}^n x_i) -4 \cdot x_1 \end{eqnarray*}$

In dem Summenausdruck ist auch die Menge für das Unternehmen 1 enthalten. Somit kann man diese Menge ( $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ) aus der Summe herauslösen:

$\begin{eqnarray*} =x_1 \cdot (60-2 \cdot x_1-2 \cdot \sum_{i=2}^n x_i)-4 \cdot x_1 \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert ergibt das:

$\begin{eqnarray*} =60 \cdot x_1-2 \cdot x_1^2-2 \cdot (\sum_{i=2}^n x_i) \cdot x_1-4 \cdot x_1 \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt zusammenfasst und nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ) ableitet, was kommt dann raus?

Den Ausdruck müsste man noch gleich Null setzen.
Des Weiteren muss man noch das Summenzeichen auflösen. Es sind nur noch (n-1) identische Unternehmen in der Summe enthalten. Somit entspricht $\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^n x_i \end{eqnarray*}$ dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot x_1 \end{eqnarray*}$ .
Dann kann man, nach einigen Umformungen, den Ausdruck für die Menge $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen, bei dem der Gewinn maximal ist. Multipliziert man diese Menge mit der Anzahl der Unternehmen (=n), dann hat man die Gesamtnachfrage. Das wiederum entspricht dem x in der Nachfragefunktion p(x)=60-2x. Dann sieht man bei welchem n sich welcher Preis ergibt.

Mit freundlichen Grüßen und gute Besserung. smile

29.09.2012, 18:13

Mikrofrage

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Lautet die zusammengefasst Ableitung dann so:

56 - 4x1 - 2(n-1)*xi = 0
4x1 = 56 -2(n-1)*xi
x1 = 14 -((n-1)*xi)/2

Ich habe jetzt das Ergebnis bekommen und, demnach wäre meine Ableitung total falsch.

Es soll wie folgt lauten:

56 - 2(n+1) * x1 = 0

Wie kann das denn die Ableitung sein?

29.09.2012, 18:30

Kasen75

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Hallo,

du schreibst:

$\begin{eqnarray*} 56 - 4x_1 - 2(n-1)*x_i = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann müsstest du auch zu dem Ergebnis kommen.

Schon gesundet?

Mit freundlichen Grüßen.

29.09.2012, 18:39

Mikrofrage

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Danke für die schnellen Antworten. Aber irgendwie stehe ich immer noch auf dem Schlauch.

Wenn ich dort jetzt x1 anstatt xi einsetze kommt ich auf folgendes:

56 - 4x1 - 2(n-1)*x1 = 0

Wie ich kann das denn so umformen um auf das Ergebnis zu kommen?
Laut dem Ergebnis vom Lehrer steht in der Klammer ja (n+1). Wie kann das denn durch Umformungen (n-1) ergeben?

29.09.2012, 18:41

Kasen75

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Multipliziere erst mal bitte die Klammer aus. Dann sehen wir weiter.

29.09.2012, 19:13

Mikrofrage

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56 - 4x1 - 2n * x1 + 2x1 = 0
56 - 2x1 - 2n*x1 = 0

???

29.09.2012, 19:17

Kasen75

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Perfekt.

Jetzt $\begin{eqnarray*} - 2x_1 - 2n*x_1 \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite bringen und dort $\begin{eqnarray*} 2x_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern.

29.09.2012, 19:31

Mikrofrage

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2x1 * (1+n) = 56
2x1 = 56/(1+n)
x1 = 28/(1+n)

?

29.09.2012, 19:41

Kasen75

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Das wäre jetzt die Nachfrage von Unternehmen 1. Freude

Für die Gesamtnachfrage muss man die Nachfrage von n Unternehmen betrachten. Es sind ja identische Unternehmen. Wenn man, wie du jetzt, die Nachfrage von einem Unternehmen hat, was muss man tun um die Nachfrage von n Unternehmen zu bekommen?

29.09.2012, 19:46

Mikrofrage

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Da die Angebotsfunktion für alle Unternehmen identisch sind, kann man die Nachfrage nach Unternehmen 1 doch pauschal für alle nehmen, oder?

Also xn = 28n/(1+n)

29.09.2012, 19:58

Kasen75

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Perfekt.

Man kann jetzt den Grenzwert bilden für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ . Das wäre die Idealvorstellung der vollständigen Konkurrenz. Und wie sieht es beim Monopol aus?

Und dieses $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ kann man in die Nachfragefunktion: 60-2x einsetzen. Damit erhält man dann den Preis.

Bin ne halbe Stunde essen.

29.09.2012, 22:15

Mikrofrage

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

du schreibst:

$\begin{eqnarray*} 56 - 4x_1 - 2(n-1)*x_i = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann müsstest du auch zu dem Ergebnis kommen.

Schon gesundet?

Mit freundlichen Grüßen.

Ich habe es jetzt nochmal mit einer anderen Aufgabe probiert.
Irgendwie habe ich mit diesem Schritt ein Problem. Warum darf ich aus xi einfach x1 machen? Oder habe ich irgendwo zuvor einen Fehler gemacht und die xi hätte gar nicht übrig bleiben dürfen?

Vielen Dank für deine Mühe!

29.09.2012, 22:32

Kasen75

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Hallo,

ich schrieb in meinem ersten Beitrag:

Zitat:

Somit entspricht $\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^n x_i \end{eqnarray*}$ dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} (n-1) \cdot x_1 \end{eqnarray*}$ .

Insofern hast du recht. Wenn du die Summe auflöst, dann ist kein $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mehr vorhanden bzw. übrig. Die Variable $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ taucht hier nur im Zusammenhang mit dem Summenzeichen auf.
Deswegen solltest du auch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ schreiben, weil es nicht richtig war. Nicht in dem Sinne, dass du es einfach ersetzen kannst.

Habe ich mich einigermaßen verständlich ausgedrückt?

Ich gehe gerne die Aufgabe mit Dir durch. smile

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