Keplersche Fassregel Begründung & Fehlerabschätzung

28.09.2012, 17:34	Jabadabaduh	Auf diesen Beitrag antworten »
Keplersche Fassregel Begründung & Fehlerabschätzung Meine Frage: Hallo Liebes Forum, ich habe mich gerade für die Schule mit der Kepler'schen Fassregel auseinandergesetzt. An sich habe ich kein Problem damit die Formel anzuwenden, aber ich bin auf einige Verständnissprobleme gestoßen, bei denen mir mein Mathematikbuch und auch das Internet keine für meinen Mathematische Kleingeist verständliche Antwort geliefert haben. $\begin{eqnarray} <br /> \int_a^b \! f(x) \, dx = \frac{1}{6} \cdot \left(b - a\right) \cdot \left(\left[y\right]_{a} + 4\cdot \left[y\right]_{m} + \left[y\right]_{b}\right) <br /> \end{eqnarray}$ Wie gesagt die simple Bedienung der Formel stellt jetzt kein Problem dar, allerdings habe ich mit der Beantwortung der folgenden Fragen echte Probleme: 1. Wie lässt sich die Formel mathematisch begründen? (Herleitung mit Trapezen habe ich schon gemacht, aber wieso entsprechen die Abweichungen von den Trapeze zum Graphen mit 2 multipliziert jeweils den Abweichungen der Tangente durch $\begin{eqnarray} \left[y\right]_{m} \end{eqnarray}$ ) 2. Wieso ist es bei ganzrationalen Funktionen bis zum Grad 3 noch exakt und darüber hinaus nicht mehr? 3. Lässt sich die Abweichung mittels einer Formel berechnen oder ist dies nur möglich indem man mit dem Ergebnis einer exakten Bestimmungsmethode vergleicht? Vielen, vielen Dank für eure Hilfe! Meine Ideen: Zu 2: Im Internet habe ich etwas davon gelesen, dass es nur ein Näherungsverfahren sei, aber wie darf ich das verstehen, dass es bei ganzrationalen Funktionen bis zum Grad 3 noch exakt ist?
28.09.2012, 19:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht! Die Keplersche Faßregel und das Integral stimmen im allgemeinen nicht überein. Die Regel liefert lediglich einen Näherungswert für das Integral: $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x) ~ \dd x \approx \underbrace{\frac{1}{6} \cdot (b-a) \cdot \left( f(a) + 4 \cdot f \left( \frac{1}{2} (a+b) \right) + f(b) \right)}_{K(f)} \end{eqnarray}$ Man kann leicht zeigen, daß die Keplersche Regel $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein linearer Operator ist, daß also die beiden folgenden Gesetze gelten ( $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ seien Funktionen über $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl): $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ K(f+g) = K(f) + K(g) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ K(\lambda f) = \lambda \cdot K(f) \end{eqnarray}$ Entsprechende Rechenregeln gelten auch für das Integral (eine Summe darf gliedweise integriert werden, ein konstanter Faktor darf vors Integral gezogen werden). Wenn nun $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine der Funktionen mit den Termen $\begin{eqnarray} f(x) = 1 \, , \ \ f(x) = x \, , \ \ f(x) = x^2 \, , \ \ f(x) = x^3 \end{eqnarray}$ ist, dann gilt sogar Gleichheit: $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x) ~ \dd x = K(f) \end{eqnarray}$ Das kann man einfach nachrechen (siehe unten). Wegen der Regeln $\begin{eqnarray} \text{(1),(2)} \end{eqnarray}$ überträgt sich die Gleichheit auf Polynome bis zum Grad 3. Um zu sehen, daß die Gleichheit nicht mehr für $\begin{eqnarray} f(x) = x^4 \end{eqnarray}$ gilt, rechnet man einfach beide Seiten getrennt aus. Zunächst das Integral: $\begin{eqnarray} \int_a^b x^4 ~ \dd x = \frac{1}{5} \left( b^5 - a^5 \right) \end{eqnarray}$ Dann den Wert nach der Keplerschen Faßregel: $\begin{eqnarray} K(f) = \frac{1}{6} \cdot (b-a) \cdot \left( a^4 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} (a+b) \right)^4 + b^4 \right) = \frac{1}{24} \cdot (b-a) \cdot \left( 4 \left( a^4 + b^4 \right) + (a+b)^4 \right) \end{eqnarray}$ Die beiden Terme stimmen nicht überein. Das kann man an einem Beispiel sehen. Nehmen wir $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ , dann liefert der erste Term $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ und der zweite $\begin{eqnarray} \frac{5}{24} \end{eqnarray}$ . Und das ist knapp daneben. Bei $\begin{eqnarray} f(x) = x^3 \end{eqnarray}$ dagegen liegt Übereinstimmung vor. Zunächst wieder der Integralwert: $\begin{eqnarray} \int_a^b x^3 ~ \dd x = \frac{1}{4} \left( b^4 - a^4 \right) \end{eqnarray}$ Dann der Wert nach der Keplerschen Faßregel: $\begin{eqnarray} K(f) = \frac{1}{6} \cdot (b-a) \cdot \left( a^3 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} (a+b) \right)^3 + b^3 \right) = \frac{1}{12} \cdot (b-a) \cdot \left( 2 \left( a^3 + b^3 \right) + (a+b)^3 \right) \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du noch zeigen, daß man den letzten Term auf die Form $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \left( b^4 - a^4 \right) \end{eqnarray}$ bringen kann. Tip: Verwende die Faktorisierung $\begin{eqnarray} a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \end{eqnarray}$ , die du leicht durch Ausmultiplizieren der rechten Seite bestätigen kannst, und klammere oben geschickt aus. Alternativ kannst du oben auch ausmultiplizieren, bis das Gewünschte übrigbleibt. Das ist dann vermutlich etwas mühsamer zu rechnen. Etwas einfacher läßt sich die Gleichheit für die nullte, erste und zweite Potenz nachweisen.
29.09.2012, 12:54	Jabadabaduh	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank!! Das ich nicht selber darauf gekommen bin die Formel mit bestehender eindeutiger Formel gleichzusetzen -.- Du warst mir eine große Hilfe!!

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