Aufspalten von Summen

29.09.2012, 00:28

Ricc87

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Aufspalten von Summen

Hallo,

ich habe folgende Probleme.

1. Problem

Die Summe,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

soll in 3 Summen aufgespalten werde. Dabei soll die erste Aufspaltung zwischen j und j+1 erfolgen und die zweite zwischen j+22 und j+23 mit $\begin{eqnarray*} j+23 \leq 170 \end{eqnarray*}$
Bitte geben Sie die entsprechende Grenze Summationsindex an.

Dazu das 2. Problem

Gegeben ist folgende Summe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n 2k \end{eqnarray*}$

Welche der folgenden Aufspaltungen sind dazu aquivalent?

1.) $\begin{eqnarray*} 1+ \sum\limits_{k=2}^n 2k \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^k-1 2j+\sum\limits_{j=k}^n 2j mit k\leq n \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2l} 2k + \sum\limits_{k=2(l+1)}^n 2k mit 2(l+1)\leq n \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} 2+ \sum\limits_{k=2}^n 2k \end{eqnarray*}$

Zu 1. bin ich noch ziemlich ratlos um ehrlich zu sein.
zu 2. Die 1. würde ich als nicht äquivalent bezeichnen und die 4. ist meines Erachtens äquivalent. Bei der 2. und 3. bin ich leider ratlos.

Ich glaube Summen werd ich nie verstehen.

Danke für eure Tipps

Gruß

Ricc

Edit lgrizu: Latex tags ergänzt.

29.09.2012, 00:47

lgrizu

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RE: Aufspalten von Summen
Also erst mal zur Aufgabe 2, da du da schon eigen Ideen hast.

Ist natürlich richtig, deine bisherigen Ansätze.

Bei 1.) fehlt in $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=2}^{n} 2k \end{eqnarray*}$ der erste Summand (für k=1), also 2*1=2.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^{n} 2k=2 \cdot 1 + \sum \limits_{k=2}^{n}2k \end{eqnarray*}$ .

Bei der 2. fehlen die ersten k Summanden in der Summe $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=k}^{n}2k \end{eqnarray*}$ , werden diese mit der ersten Summe wieder gut gemacht?

3. ist ein bisschen tückisch, es werden zuerst 2l Sumannden richtig aufsummiert, danach noch wie viele? fehlt etwas, ist etwas zu viel?

Für die erste Aufgabe:

nimm dir ein j, summiere zuerst von 1 bis j auf, dann von j+1 bis j+22 und danch von j+23 bis 170, mach das doch mal Beispielsweise für j=5 oder j=9 und dann allgemein.

29.09.2012, 13:27

Ricc87

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Hallo und danke für deine Hilfe,

ich habe deinen Tipp zu 1. mal probiert. Was mir doch nicht ganz einleuchtet bei der Aufgabe, ist die Änderung des Laufindex. Kann ich denn davon ausgehen das "j=n" ist?
Für das Bsp. j=5 hab ich nun folgende grenzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^5 5^n + \sum\limits_{j=6}^{27} 5^n + \sum\limits_{j=28}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

Würde meine Aufgabe dann so aussehen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^2 5^n + \sum\limits_{n=3}^{23} 5^n + \sum\limits_{n=24}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

Kommt mir logisch vor, aber das heißt nicht viel.

Zu 2.)

1. Nicht äquivalent.

2. Die fehlenden k Summanden in der 2. Summe werden meines Erachtens nicht durch die 1. Summe wieder gut gemacht. Also ist auch diese Gleichung falsch. Irre ich mich?

3. Auch hier denke ich das die Summe falsch ist. Durch das 2(l+1) fehlt mir ja im Prinzip eine Summe von l oder?

4. Sollte stimmen. Durch die Addition von 2 wird der erste fehlende k Summand wieder ausgeglichen.

Lieg ich mit meinen Versuchen richtig ?

Danke und Gruß

Ricco

29.09.2012, 14:17

HAL 9000

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Geschweifte Klammern vergessen!

Zitat:

Original von Ricc87
2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^k-1 2j+\sum\limits_{j=k}^n 2j mit k\leq n \end{eqnarray*}$

Offenbar ist hier eher

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{k-1} 2j+\sum\limits_{j=k}^n 2j \;\mbox{mit}\; k\leq n \end{eqnarray*}$

gemeint.

29.09.2012, 15:05

Ricc87

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oh da hast du recht, Entschuldigung dafür.

Ich hatte bei meiner Antwort den Fehler oben gar nicht bemerkt. Hammer

Hammer

Dann stimmt die 2 ja doch ! Damit müsste meine zweite Aufgabe ja nun abgeschlossen sein.

Danke dafür

Ist meine Vorgehensweise bei der 1. Aufgabe denn korrekt ?

29.09.2012, 15:18

lgrizu

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Zitat:

Original von Ricc87

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^5 5^n + \sum\limits_{j=6}^{27} 5^n + \sum\limits_{j=28}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

Würde meine Aufgabe dann so aussehen?

In den einzelnen Summen summierst du über j auf, im Summanden selber steht aber ein n, das geht so nicht. Wie kann man das denn mit einer einfachen Korrektur beheben?

Dein n bleibt n, das j liegt irgendwo zwischen 1 und n, in meinem Beispiel wäre dann j=5.

Du musst also zuerst von 1 bis 5 aufsummieren, dann von 6 bis 27 und danach von 28 bis 170, das stimmt ja schon mal.

Zitat:

Original von Ricc87
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^2 5^n + \sum\limits_{n=3}^{23} 5^n + \sum\limits_{n=24}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

Das wäre richtig für ein spezielles j=2.

Zur Aufgabe 2:

Deine Antworten sind richtig,

1. ist nicht äquivalent

2. ist äquivalent

3. ist nicht äquivalen (der 2k+1-te summand fehlt)

4. ist äquivalent

bei den Begründungen hapert es noch ein bisssel.

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29.09.2012, 18:18

Ricc87

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ouh mann ich stehe gerade echt aufen Schlauch, komm nicht drauf. verwirrt

verwirrt

29.09.2012, 18:21

lgrizu

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Nimm dir doch mal das hier als Beispiel und setze das ganua so in der 1. Aufgabe um......

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{j=1}^n 2j=\sum\limits_{j=1}^{k-1} 2j+\sum\limits_{j=k}^n 2j \end{eqnarray*}$

29.09.2012, 19:19

Ricc87

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dann würde ich es so machen??

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{j} 5^n+\sum\limits_{n=j+1}^{j+22} 5^n+\sum\limits_{n=j+23}^{170} 5^n \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

29.09.2012, 20:47

lgrizu

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Freude

29.09.2012, 23:49

Ricc87

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Gott

Gott

danke für die Hilfe, dieses Forum ist Klasse !

Um das ganze mal abzurunden. Wie sieht es im minus Bereich aus?

Folgende Aufgabe.

Die Summe,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} j^5 \end{eqnarray*}$

soll wieder in 3 Summen aufgespalten werden.
1. zwischen n=-75 und n=-74
2. zwischen n und n+1 mit $\begin{eqnarray*} n+1\leq 110 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n=-75} 5^j+\sum\limits_{j=n-74}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110} 5^j \end{eqnarray*}$

stimmt das?

30.09.2012, 00:23

lgrizu

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jetzt überlege einmal, gibt es zwischen 1 und 110 überhaupt negative Zahlen?

30.09.2012, 09:33

Ricc87

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kann ich denn solche Summen Rückwärts laufen lassen?
Das Versuch ich gerade, aber komm da auch zu keinem Vernünftigen Ergebnis.

30.09.2012, 11:04

lgrizu

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Das ist auch ganz klar,
Die Summe,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} j^5 \end{eqnarray*}$

läuft von j=1 bis j=110, j=-75 oder sonstige negative Zahlen nimmt j gar nicht an.

30.09.2012, 12:17

Ricc87

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Die Lösungen der Aufgaben, gebe ich über ein Comuter Programm an und dieses akzeptiert ein n.l. nicht. Meine Professorin meinte auch dass das geht nur Tipps hat Sie leider bisher noch nicht gegeben. Ich habe da noch mehr Aufgaben von und verzweifle langsam an jeder ^^

ist denn so ein Lösungsansatz denkbar?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=110}^{n-75} 5^j+\sum\limits_{j=n-74}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^1 5^j \end{eqnarray*}$

es scheint mir nicht richtig aber was besseres fällt mir nicht ein.

30.09.2012, 13:03

lgrizu

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Nein, die Summe ist nicht so aufzuspalten, wie es die Aufgabe vorgibt, denn die Zahlen n=-75 und n=-74 sind keine Elemente der Indexmenge des Laufindex.

Das ganze ist eine Fangfrage, man kann sie also nur in zwei Summen aufspalten nach der Aufgabenstellung.

Ich hatte gehofft, da kommst du selber drauf.....

Also:

Die Summe,

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} j^5 \end{eqnarray*}$

soll wieder in 3 Summen aufgespalten werden.
1. zwischen n=-75 und n=-74
2. zwischen n und n+1 mit $\begin{eqnarray*} n+1\leq 110 \end{eqnarray*}$

Die erste Aufspaltung ist nicht möglich, bleibt nocht 2.

30.09.2012, 13:35

Ricc87

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Dann spalte ich diese also so auf ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} 5^j=\sum\limits_{j=1}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110}5j \end{eqnarray*}$

Aber was mach ich dann mit der 1. Aufspaltung?

Zur Verdeutlichung, so sieht meine Eingabe aus.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} 5^j=\sum\limits_{???}^{???}5^j+\sum\limits_{???}^{???}5^j+\sum\limits_{???}^{???} 5^j \end{eqnarray*}$

Der Computer verlangt bei allen eine Eingabe.

30.09.2012, 13:49

lgrizu

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Zitat:

Original von Ricc87
Dann spalte ich diese also so auf ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} 5^j=\sum\limits_{j=1}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110}5j \end{eqnarray*}$

Genau, noch eine Begründung liefern, warum.

Zitat:

Original von Ricc87
Aber was mach ich dann mit der 1. Aufspaltung?

Ignorieren, aber begründen, warum.

30.09.2012, 14:48

Mystic

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Ricc87
Dann spalte ich diese also so auf ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} 5^j=\sum\limits_{j=1}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110}5j \end{eqnarray*}$

Genau, noch eine Begründung liefern, warum.

Naja, da verlangst du aber Unmögliches, denn das stimmt ja so nicht... Big Laugh

Big Laugh

30.09.2012, 15:12

Ricc87

Auf diesen Beitrag antworten »

was stimmt denn damit nicht?

Die erste Aufspaltung zu ignorieren ist schwierig da das Programm definitiv eine Eingabe erwartet.

Ich schreib meiner Professorin nochmals^^

30.09.2012, 15:13

lgrizu

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Ricc87
Dann spalte ich diese also so auf ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{110} 5^j=\sum\limits_{j=1}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110}5j \end{eqnarray*}$

Genau, noch eine Begründung liefern, warum.

Naja, da verlangst du aber Unmögliches, denn das stimmt ja so nicht... Big Laugh

Big Laugh

Hammer

okay, in der zweiten Summe muss das j selbstredend im Exponenten stehen........

Habs überlesen, oder besserunbewusst drüber weg geschaut.....

Man kann auch wirklich kleinlich sein Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Ricc87
was stimmt denn damit nicht?

Die erste Aufspaltung zu ignorieren ist schwierig da das Programm definitiv eine Eingabe erwartet.

Ich schreib meiner Professorin nochmals^^

Dann lass doch einfach eine Auspaltung weg.......

30.09.2012, 15:27

Ricc87

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ach ja stimmt ^^

Ich bedank mich für eure Hilfe und warte mal ab was meine Professorin dazu sagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.09.2012, 21:37

Ricc87

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jetzt muss ich hier doch nochmals nachhaken.

Meine Professorin schreibt:
Sie können davon ausgehen, dass die neue Variable so groß gewählt ist, dass auch bei der Subtraktion keine negativen Werte auftreten.
Dies hätte wohl besser auch im Aufgabentext stehen sollen...

Also muss es ja einen Weg geben die Summen doch in 3 Summen aufzuspalten, nur wie?

01.10.2012, 22:45

Ricc87

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Hallo,

hab dann jetzt die Lösung zu der Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n-75} 5^j+\sum\limits_{j=n-74}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110} 5^j \end{eqnarray*}$

nochmals vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß

Ricc

02.10.2012, 08:20

lgrizu

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Zitat:

Original von Ricc87
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n-75} 5^j+\sum\limits_{j=n-74}^n 5^j+\sum\limits_{j=n+1}^{110} 5^j \end{eqnarray*}$

Das ist aber etwas anderes, als du hier geschrieben hast:

Zitat:

Original von Ricc87
soll wieder in 3 Summen aufgespalten werden.
1. zwischen n=-75 und n=-74
2. zwischen n und n+1 mit $\begin{eqnarray*} n+1\leq 110 \end{eqnarray*}$

Du hast nun aufgespaltet zwischen n-75 und n-74 und nicht für n=-74.....

02.10.2012, 08:32

Ricc87

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Da hab ich meine Aufgabe wohl etwas falsch formuliert, die Aufspaltung sollte zwischen n-75 und n-74 erfolgen.

Entschuldigung.

02.10.2012, 08:54

lgrizu

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Kommt vor....

Gib dir aber in Zukunft etwas Mühe, die Aufgabe richtig zu stellen, im Zweifel schreib sie wort- wörtlich so ab, wie du sie bekommen hast.

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