Geraden im Raum, identisch und parallel

29.09.2012, 14:05

kwongk

Geraden im Raum, identisch und parallel

Meine Frage:
Guten Tag,

meine Frage dreht sich um parallele Geraden im Raum. Jetzt muss allerdings bestimmen, wenn man herausgefunden hat, dass die Geraden parallel zueinander sind, ob sie identisch sind oder nur parallel sind. Nur wie?

Meine Ideen:
Man bekommt natürlich unendlich viele Lösungen, wenn sie aufeinander liegen und keine Lösung, wenn sie parallel sind. Bei beiden Fällen ist der Richtungsvektor identisch oder ein Richtungsvektor ein x-faches des zweiten Richtungsvektors. (Vor kurzer Zeit ist mir wieder die Punktprobe in den Sinn gekommen, leider weiß ich nicht mehr wie sie funktionierte.)
Man hat zwei Geraden
$\begin{eqnarray*} g_{1} =\vec{x} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_{2} =\vec{x} \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sie sind identisch. An diesem beispiel habe ich versucht zu beweisen, dass sie identisch sind. nur leider bekomme ich aus dem Gleichungssystem nach dem Gleichsetzen nicht mehr heraus als:

I. 0r-0s=0
II. 8r-8s=-8
III: 3r-3s=-3

I.: 0=0, richtig
II.: -r-s=1
III.: -r-s=1

Ist damit schon bewiesen, dass sie identisch sind, da sich nichts widerspricht, da der Fall "nur parallel" ja eine falsche Lösung aufzeigen kann?

29.09.2012, 14:29

Iorek

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Wie kommst du in Gleichung II und III jeweils auf die rechte Seite? Da habe ich etwas anderes stehen...

Ansonsten zur Punktprobe: wenn die Geraden parallel sind, genügt es schon wenn die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben damit sie identisch sind. Um das zu überprüfen kann man einfach den Stützvektor der ersten Gerade mit mit der zweiten Geradengleichung gleichsetzen und damit die angesprochene Punktprobe durchführen. Liegt der Stützvektor bzw. der zugehörige Punkt auf beiden Geraden, so sind die Geraden identisch. Tut er dies nicht, so sind die Geraden echt parallel.

29.09.2012, 15:03

kwongk

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Zitat:

Original von Iorek
Wie kommst du in Gleichung II und III jeweils auf die rechte Seite? Da habe ich etwas anderes stehen...

Oh.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}<br /> <br /> r \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}- s \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also so?
II. 8r-8s= 8
III: 3r-3s= 3

II. r-s=1
III.r-s=1

oder ist das gerade total falsch und ich bin gerade total verwirrt?

29.09.2012, 15:11

Iorek

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Jetzt hast du eine andere Aufgabe als oben, die Stützvektoren sind unterschiedlich. Welche darfs denn jetzt sein? Augenzwinkern

29.09.2012, 19:48

kwongk

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ja, da vertippt man sich am anfang einmal und so...
Die zweite wäre die richtige mit 4 8 7

Meine frage war ja ursprünglich, ob es damit bewiesen wäre, wenn sowas herauskommt:

I. 0=0
II. 8r-8s= 8
III: 3r-3s= 3

I. 0=0
II. r-s=1
III.r-s=1
es widerspricht sich ja nichts, was bei nur echt paralleln ja so wäre.

29.09.2012, 19:58

Iorek

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In dem Fall wäre es korrekt, das Gleichungssystem ist lösbar, also gibt es einen bzw. in diesem Fall eben mehrere Schnittpunkte. smile

29.09.2012, 20:00

kwongk

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Bedeutet, dass, wenn man das Gleichungssystem untersucht und es sich in allen drei Gleichungen nicht widerspricht, man aber weiß, dass es in irgendeiner Art parallel ist, dass die Geraden identisch sind?

29.09.2012, 20:11

Iorek

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Ja, so könnte man das sagen. Alternativ kann man das Gleichungsysstem auch komplett auflösen und feststellen, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Beides führt dahin, dass die Geraden identisch sind.

29.09.2012, 20:18

kwongk

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ok, vielen Dank. Ich würde gerne das ganze noch einmal für mich selber ausprobieren wollen mit zwei Geraden, die echt parallel sind, dabei müsste ja beim Gleichungssystem etwas falsches herauskommen. Nur leider habe ich keine zwei Geraden, die echt parallel sind, woran ich rumexperimentieren könnte...
Wüssten Sie vielleicht eine?

29.09.2012, 20:21

Iorek

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Versuchs mal mit $\begin{eqnarray*} g:\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Gerade von dir.

29.09.2012, 20:28

kwongk

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Vielen Dank Freude

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