Stammfunktion ln

29.09.2012, 22:15

Litlebuda

Stammfunktion ln

Hallo Leute,

dies ist mein erster Eintrag in diesem Forum und deswegen bin ich mit den Strukturen hier noch nicht ganz vertraut. Deswegen poste ich meine Frage einfach mal hier. Ich habe folgende Aufgabe vor mir und eigentlich schon gelöst. Nur mein Ergebnis stimmt nicht mit dem Ergebnis überein. Meine Stammfunktion ist aber richt (laut Lösung)

Hier nun das bestimmte INtegral

Integral 1bis 2 = lnx * 1/(x+1)^2 dx

meine mittels partieller Integration und partialbruchzerlegung gefundene Stammfunktion

ln(x) von 1 bis 2 -ln(x+1) von eins bis 2

so die intervallgrenzen eingesetzt geben bei mir

ln(2)- ln (3/2)

die Lösung laut Lösung ist:
5/3 ln(2)- ln(3)

sooooo jetzt die Frage aller Fragen, woher kommen diese 5/3? stehe ich gerade mega auf dem Schlauch?

gruß Justus

29.09.2012, 22:23

Litlebuda

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RE: Stammfunktion ln
habs nochmal aufgemalt

29.09.2012, 22:40

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RE: Stammfunktion ln
verwirrt

rechne vielleicht nochmal nach:

es ist:

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{ln(x)}{(x+1)^2} \, dx = \frac{x\cdot ln(x)}{x+1} - ln(x+1) +c \end{eqnarray*}$

.

29.09.2012, 23:23

Litlebuda

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RE: Stammfunktion ln
die lösung die ich gepostet habe ist übereinstimmend mit der offiziellen Musterlösung, die auch an die Tutoren raus gegeben wurde....

habe noch mal nachgerechnet bin auf ein leicht abweichendes ergebnis gekommen

30.09.2012, 10:18

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RE: Stammfunktion ln
unglücklich

du hast die Regel

$\begin{eqnarray*} \int\! u\cdot v' \, dx = u\cdot v - \int\! u' \cdot v \, dx \end{eqnarray*}$

falsch ausgewertet (drittletzte Zeile) ->

u*v ist NICHT [-1/(x+1)]*[1/x]

....................................... geschockt

30.09.2012, 12:33

Litlebuda

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RE: Stammfunktion ln
Klar das stimmt natürlich, war wohl spät gestern Augenzwinkern

allerdings hänge ich dann auch:

richtig angewandt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{x+1} * ln(x) -\int_1^2 \! f(x) \frac{-1}{(x+1}* \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

so die Stammfunktion von dem ersten Term im Integral ist -ln(x+1) und die Stammfunktion ist 1/x

jetzt habe ich da folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-ln(x)}{x+1}+ ln(x+1)*ln(x) \end{eqnarray*}$

in den Grenzen 1--> 2 natürlich

30.09.2012, 19:48

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RE: Stammfunktion ln

Zitat:

Original von Litlebuda

richtig angewandt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{x+1} * ln(x) -\int_1^2 \! f(x) \frac{-1}{(x+1}* \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ unglücklich

jetzt habe ich da folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-ln(x)}{x+1}+ ln(x+1)*ln(x) \end{eqnarray*}$ geschockt

-> richtig angewandt sieht das ohne f(x) so aus: ->

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{-1}{x+1} * ln(x) +\int \! \frac{1}{(x+1)}* \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

und das neue Integral kannst du zunächst durch Partialbruchzerlegung umgestalten (siehe oben)

geschockt

->und dannn bekommst du doch beim Integrieren NICHT das PRODUKT ln(x+1)*ln(x)

sondern du bekommst dann :

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{-ln(x)}{x+1} + ln(x) - ln(x+1) \end{eqnarray*}$

und wenn du jetzt noch etwas zusammenfasst, bekommst du sogar mein zu Beginn notiertes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{x\cdot ln(x)}{x+1} - ln(x+1) \end{eqnarray*}$

so
und jetzt kannst du dein bestimmtes Integral noch berechnen aus F(2) - F(1) = ...

hoffe mal, du kommst nun irgendwann damit klar? smile

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