Zahlentheorie Teilbarkeit beweisen

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Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Teilbarkeit beweisen
Also ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter, die Aufgabe ist:


Beweise: Für jedes k Element der ganzen Zahlen gibt es ein n Element der natürlichen Zahlen sodass 5 ein Teiler ist von n^3+k.

Mein erster Ansatz war, daß ich über die Teilbarkeitsregeln gehe. Aber ich muß ja beweisen, daß die Formel für jedes k gilt.

Zweiter Gedanke war, über die Vollständige Induktion zu gehen, wobei dann mein Gedanke war, für k=0 zu zeigen und dann zwei Induktionen zu machen, ein mal für k>0 und ein mal für k<0.

Dabei habe ich mich aber irgendwie verrannt. Jetzt weiß ich einfach keinen Ansatz und es wäre schön, wenn ich hier einen Schubs in die richtige Richtung bekommen könnte.

Freue mich schon auf einen Schubs, Augenzwinkern
Danke, Micha
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Teilbarkeit beweisen
Es gibt definitiv eine schönere Lösung, aber überlege dir mal, dass es ausreicht zu betrachten. Für diese 5 Fälle kannst du dann jeweils deine n per Hand suchen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Teilbarkeit beweisen
Ja, wobei es auch für das n genügt, die zwei Fälle zu betrachten...
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee hatte ich auch schon, habe diese aber noch nicht bis zu ende durchdacht.
Die Idee ist auf jeden Fall sehr gut, schon mal vielen Dank dafür.

Bitte guck mal, ob ich das so richtig sehe:

Also:

Die Menge der ganzen Zahlen teilt sich auf in die Summe von k5 und einem Element von kx, wobei diese Mengen def. sind als:

und in Menge k5, die alle k Elemente von Z beinhaltet, die durch 5 teilbar sind.

OT:
Sorry, hab gerade eine Stunde mit dem Formeleditor gekämpft. Wie macht man denn dort einen gerade Strich? Also: "mit der Eigenschaft"

Für jedes Element k5 + 5^3 gilt:
Da die Elemente von k5 und auch der Ausdruck 5^3 durch 5 teilbar sind, so ist auch die Summe aus Element von k5 +5^3 durch 5 teilbar.

Dann noch für die vier Zahlen {1,2,3,4} zeigen, und dann sollte es eigentlich reichen.

Für 0 brauche ich doch nichts beweisen, oder habe ich jetzt einen Denkfehler.

Grüße,
Micha
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

... klar, die 0 muss ich auch betrachten.

ansonsten gilt ja nun nicht :

k=k5+kx

wenn k eine durch 5 teilbare Zahl ist, da die 0 nicht Element von kx ist.

Hatte ich ganz vergessen.

DANKE
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlentheorie Teilbarkeit beweisen
Zitat:
Original von Mystic
Ja, wobei es auch für das n genügt, die zwei Fälle zu betrachten...


Ähm sorry, da verstehe ich nicht. n kann doch nicht Element von k sein.

n ist eine Natürliche Zahl und k eine ganze Zahl, oder habe ich jetzt einen Denkfehler,
LG Micha
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinen Vorschlägen kann ich jetzt gar nichts sagen, da ich sie schlicht nicht verstehe... Für mich ist es fast so, als würdest du über eine andere Aufgabe reden... Und auch die Bezeichnungen k5 und kx sind höchst dubios, denn sie bedeuten im normalen Sprachgebrauch k*5 und k*x....

Was meinen Vorschlag betrifft, müsstest du nur zeigen, dass entweder k³+k oder (5-k)³+k durch 5 teilbar ist... Warum versuchst es nicht einfach so mal?

Edit: bedeutet, dass n ein Element der 2-elementigen Menge bestehend aus k und 5 -k ist... Der "Mann auf der Straße" würde das auch kurz so ausdrücken, dass entweder n=k oder n=5-k gilt... Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst wenn einem gar nichts sonst einfällt, es bleibt einem immer noch das simple Ausrechnen von

,

um zu sehen, dass alle Restklassen modulo 5 auftauchen. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, oder allgemeiner gilt für jede Primzahl p, dass die Abbildung



von in genau dann eine Bijektion ist, wenn



ist, wobei in diesem speziellen Fall natürlich und zu setzen ist... Augenzwinkern
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

... vielen Dank erst ein mal für die Anregungen, auch wenn ich zugeben muß, das ich nicht alles verstanden habe.

zu meinen Ausführungen, ich hatte mit k5 die k bezeichnet, die durch 5 teilbar sind und mit kx die Menge {0,1,2,3,4}.

Dann könnte ich jede ganzen Zahlen durch die Addition von einem Element von k5 und einem Element von kx bilden.

Aber das nur am Rande, bin ja hier um etwas zu lernen.

-Meinst du mit Z5 eine Äquivalenzrelation mit der Eigenschaft, daß alle Elemente durch 5 teilbar sind?

-eine Sache habe ich echt noch nicht kapiert: warum muss ich nur die n=k oder n=5-k betrachten. Zeige ich damit denn, daß es für ALLE k ein n gibt, welches die Formel erfüllt?

Hammer ... sorry, aber ich bekomme einfach nicht in den Kopf, warum ihr die Aufgabe von dieser Seite aus angehen würdet.

... vieln Dank für die Mühe!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mbra771
-Meinst du mit Z5 eine Äquivalenzrelation mit der Eigenschaft, daß alle Elemente durch 5 teilbar sind?

Wenn du die Äquivalenzrelation auf betrachtest, bei der zwei ganze Zahlen genau dann in Relation sind, wenn sie denselben Rest bei Division durch 5 ergeben, dann ist die Menge aller Äquivalenzklassen, die man sich durch die verschiedenen Rest 0,1,2,3,4 bei Division durch 5 repräsentiert denken kann...

Zitat:
Original von Mbra771
-eine Sache habe ich echt noch nicht kapiert: warum muss ich nur die n=k oder n=5-k betrachten. Zeige ich damit denn, daß es für ALLE k ein n gibt, welches die Formel erfüllt?


Einfach ausprobieren, was ich oben schon gesagt habe:

Zitat:
Original von Mystic
Was meinen Vorschlag betrifft, müsstest du nur zeigen, dass entweder k³+k oder (5-k)³+k durch 5 teilbar ist... Warum versuchst es nicht einfach so mal?


Das kann doch nicht so schwer sein, schließlich musst du nur die Werte k=0,1,2,3,4 alle durchprobieren... verwirrt
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt einfach mal angefangen und es war nicht schwer zu zeigen, daß bei
gilt:

5 teilt und 5 teilt


Auch wenn es für euch simpel erscheint, ich habe aber einfach noch nicht verstanden, warum ich nur diese beiden Fälle betrachten muss. Warum beweise ich denn damit jedes mögliche k?

... Ja ich weiß, ist ein schweres Los mit mir, aber ich würde mich echt freuen, wenn ich das noch verstehen könnte.
Grüße,
Micha
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mbra771
es war nicht schwer zu zeigen, daß bei
gilt:

5 teilt und 5 teilt

So geschrieben klingt es so, beide Teilbarkeitsaussagen gelten für alle - das stimmt natürlich nicht. unglücklich

So hat es Mystic auch gar nicht formuliert, sondern nur, dass für jedes (mindestens) eine dieser beiden Aussagen gilt, also oder.
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war auch als ODER gemeint, hab mich da einfach verschrieben.

Ich verstehe aber immer noch nicht warum das des Rätsels Lösung ist.

Ich belese mich gerade über Kongruenz und vermute, daß ihr in dieser Richtung argumentiert. Das hatte ich aber leider noch nicht in der Uni.
Wir sind gerade mit den Teilbarkeitsregeln durch, weshalb ich eigentlich auch dachte, diese würden ausreichen um die Aufgabe zu lösen.

Grüße,
Micha
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh, es kann so einfach sein. Klar,!

Wenn ich k aus Z betrachte, dann ist jedes

5 mod k aus der Menge {0,1,2,3,4}

Dann muss ich nur noch zeigen, daß verschiedene n existieren, deren

5 mod (n^3)

Auch diese Menge erzeugen kann, damit

5 mod (n^3) + 5 mod k = 0 oder 5

... ist.

Manno, das hattet ihr natürlich auch in ähnlicher Form geschrieben. Bis vor einer Woche wusste ich aber nicht mal was mod bedeutet. Liege ich jetzt richtig?

smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mbra771
Liege ich jetzt richtig?

Es scheint, dass du wenigstens das Richtige meinst, formal ist aber - im wahrsten Sinne des Wortes - alles verdreht und auf den Kopf gestellt... k mod 5 liegt in {0,1,2,3,4} und n³ mod 5 sollte für n=0,1,2,3,4 alle Werte in {0,1,2,3,4} annehmen...
Mbra771 Auf diesen Beitrag antworten »

UUUPPS!!!

Tja, da ist es wohl mit mir durch gegangen. Stimmt! Ist falsch herum.

Vielen Dank für die Tipps und Anregungen.
Da habe ich schön was gelernt!

DANKE!!!

Micha
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