Differentialquotient bestimmen - Seite 2

01.10.2012, 11:44

Tipso

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RE: Differentialquotienten - Aufgabe

t_2 = 1

$\begin{eqnarray*} k = 2 x_0 -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 2 * 1 -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 1 \end{eqnarray*}$

Tangentengleichung: $\begin{eqnarray*} y = -x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 1x + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 1*1 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = -1 \end{eqnarray*}$

Meine Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y = 1x + -1 \end{eqnarray*}$

Für was brauche ich die Tangentengleichung?
kann ich diese berechnen bzw. was ist das Ergebnis von:
$\begin{eqnarray*} y = 1x + -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 1x + -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = x \end{eqnarray*}$

hmm smile

smile

verwirrt

Zitat:

Hier die Aufgabe:

Leiten Sie für die Funktion f: y = x3 - 1 den allgemeinen Differentialquotienten her und
ermitteln Sie dann die Gleichungen der Tangenten in den Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit den Koordinatenachsen.
Zeichnen Sie anschließend den Grafen der Funktion f im Intervall [-2,2] und die beiden
berechneten Tangenten!

Hi,

Ich versuche dies und danach noch eine Aufgabe um sicher zu gehen das ich es anwenden kann bevor ich über gehe auf verstehen.

Funktion $\begin{eqnarray*} f: y = x^3 - 1 \end{eqnarray*}$

1.
Den allgemeinen Differentialquotienten herleiten.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

2.
Steigung meiner Tangente ausrechnen, indem ich? Hammer

Hammer

Dabei gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h) \end{eqnarray*}$ = x oder $\begin{eqnarray*} f(x_0+h) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^3-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)^3 - 1 -f(x_0)^3}{h} \end{eqnarray*}$

Nunja, jetzt stehe ich vor einem Rätzel x^3?!

lg

01.10.2012, 11:54

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)^3 - 1 -f(x_0)^3}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0^3 + 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x_0^3 + 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 -(x_0)^3/h \end{eqnarray*}$

x_0^3 und - x_0^3 hebt sich auf.

$\begin{eqnarray*} <br /> 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 /h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 3^2x_0 + 3x_0h +h^2 - (1/h) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird es schon schwierig.

01.10.2012, 12:10

AlphaCentauri

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Also die Tangentengleichung $\begin{eqnarray*} t(x) = x-1 \end{eqnarray*}$ stimmt Freude

Freude

Wozu man eine Tangente braucht kann man nicht in einem Satz beantworten: Es gibt beispielsweise Näherungsverfahren für Nullstellenberechnungen, bei denen man Tangenten benötigt.
Zu deiner neuen Aufgabe:
Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 -1 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt für den Differentialquotienten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x_0 + h)^3 - 1 - \left( x^3 - 1 \right)}{h} \end{eqnarray*}$
Und jetzt einfach nur ausmultiplizieren, kürzen und anschließend den Grenzwert berechnen (dein bisheriges Ergebnis stimmt nicht) Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2012, 12:36

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x_0 + h)^3 - 1 - \left( x^3 - 1 \right)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x_0^3 + 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 -((x_0)^3-1)/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x_0^3 + 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 - (x_0)^3+1)/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 3^2x_0h + 3x_0h^2 +h^3 )/h \end{eqnarray*}$

Soweit stimmt es glaube ich.

$\begin{eqnarray*} <br /> 3^2x_0 + 3x_0h +h^2 ) \end{eqnarray*}$

Mein Grenzwert ist: 3^2x_0 + 3x_0

lg

01.10.2012, 12:48

AlphaCentauri

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verwirrt

Also es ist $\begin{eqnarray*} (x_0 + h)^3 \neq x_0^3 + 3^2 x_0 h +3 x_0 h^2 + h^3 \end{eqnarray*}$ , sondern vielmehr $\begin{eqnarray*} x_0^3 + 3 x_0^2 h +3 x_0 h^2 +h^3 \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich dann für den Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 3 x_0^2 + 3 x_0 h + h^2 = ... \neq 3^2 x_0 + 3x_0 \end{eqnarray*}$

01.10.2012, 13:01

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x_0 + h)^3 - 1 - \left( x^3 - 1 \right)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 -((x_0)^3-1)/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x_0^3 + 3x_0^2h + 3x_0h^2 +h^3 - 1 -(x_0)^3 + 1)/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 3x_0^2h + 3x_0h^2 +h^3 /h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 3x_0^2 + 3x_0h +h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Grenzwert = 3x_0^2 \end{eqnarray*}$

lg

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01.10.2012, 13:03

AlphaCentauri

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Das stimmt Freude

Freude

Und jetzt die Tangentengleichungen...die Vorgehensweise sollte ja klar sein, oder?

01.10.2012, 13:27

Tipso

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Als erstes errechne ich das"k" indem ich einen beliebigen Punkt auf meiner Tangente wähle und diesen in die Steigung einsetze. (In x).

Somit erhalte ich x.

Der Punkt der verwendet werden soll, bzw. die Punkte. (Warum eigentlich immer zwei Punkte?) stehen hier:

Zitat:

Tangenten in den Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit den Koordinatenachsen.

Dieses wiederum setze ich in die Geradengleichung, dabei ist y der beliebige Punkt den ich für mein k genommen habe.

Warum eigentlich?

1. Aufgabe

Zitat:

Tangenten in den Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit den Koordinatenachsen.

damit sind die Nullstellen von y gemeint wenn ich mich nicht täusche?

Wertetabelle und ablesen.

edit:
y und x werte - jetzt wird es kompliziert?
Ich brauche doch nur die y-Werte?

lg

01.10.2012, 13:36

AlphaCentauri

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Zitat:

1. Aufgabe

Zitat:

Tangenten in den Schnittpunkten des Grafen der
Funktion f mit den Koordinatenachsen

damit sind die Nullstellen von y gemeint wenn ich mich nicht täusche?

So ganz stimmt das nicht: Du suchst diesmal nicht nur Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit der x-Achse (=Nullstellen), sondern auch den/die Schnittpunkte von f mit der y-Achse.
Am besten fängst du wieder mit der/den Nullstellen von f an und bestimmst dort die Tangentengleichung Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2012, 13:56

Tipso

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Funktion $\begin{eqnarray*} f: y = x^3 - 1 \end{eqnarray*}$

Wertetabelle

Ergebnisse

$\begin{eqnarray*} x 1 = y 0 \end{eqnarray*}$

Also habe ich eine Nullstelle und die ist auf der x-Achse bei 1.

Ich könnte auch

$\begin{eqnarray*} 0 = x^3 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3 * 1^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$

Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = k \cdot x_0 + d \end{eqnarray*}$

[ $\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = 3 * 1 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = - 3 \end{eqnarray*}$

Meine Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y = 3x + -3 \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich das x von der Gleichung ja auch schon mit "1"? right?

01.10.2012, 14:04

AlphaCentauri

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Das Ergebnis stimmt! Freude

Freude

(Obwohl man es schöner darstellen kann: $\begin{eqnarray*} y = 3x - 3 \end{eqnarray*}$ )
Aber Achtung: Ist $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{1} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es im Reellen nur $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ als Lösung und nicht etwa $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$ ! Schließlich ist $\begin{eqnarray*} (-1)^3 \neq 1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt fehlt nur noch die Tangente am Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse. Hier ist das Vorgehen identisch: Finde den Schnittpunkt und dann einfach wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen.

01.10.2012, 14:16

Tipso

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Zitat:

Original von AlphaCentauri
Das Ergebnis stimmt! Freude

Freude

(Obwohl man es schöner darstellen kann: $\begin{eqnarray*} y = 3x - 3 \end{eqnarray*}$ )
Aber Achtung: Ist $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{1} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es im Reellen nur $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ als Lösung und nicht etwa $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$ ! Schließlich ist $\begin{eqnarray*} (-1)^3 \neq 1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt fehlt nur noch die Tangente am Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse. Hier ist das Vorgehen identisch: Finde den Schnittpunkt und dann einfach wieder $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Das ist schon verwirrend. Aufgrund der Wurzel nehme ich an. hm

Die nächste Aufgabe wäre x auf null zustellen?
Ganz verstanden habe ich das nicht:

Zitat:

die Tangente am Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse.

Wo die Funktion die y-Achse berührt.

Die erhalte ich indem ich x auf null stelle.

Also:

Funktion $\begin{eqnarray*} f: y = x^3 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: y = 0^3 - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: y = - 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt berechne ich damit das "k"?

nö oder;

$\begin{eqnarray*} k = 3x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3 * 0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$

Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = k \cdot x_0 + d \end{eqnarray*}$

[ $\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = 3 * 1 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = - 3 \end{eqnarray*}$

Meine Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y = 3x + -3 \end{eqnarray*}$

Wenn das stimmt, warum erhalte ich zwei gleiche Ergebnisse und was sagt dies mir?

lg

01.10.2012, 14:31

AlphaCentauri

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Okay, also hier hast du dich leider verrechnet.
1. Du suchst den Schnittpunkt von f mit der y-Achse, d.h. du musst $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ setzten (wie du schon erkannt hast). Damit ergibt sich der Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \left( 0, -1 \right) \end{eqnarray*}$ .
2. Wenn du nun die Steigung deiner Tangente berechnen möchtest, musst du $\begin{eqnarray*} x =0 \end{eqnarray*}$ in die Gleichung einsetzten und das ergibt: $\begin{eqnarray*} k = 3 \cdot 0^2 = 3 \cdot 0 = 0 \neq 3 \end{eqnarray*}$ . Also besitzt deine Tangente die Steigung Null.
3. Nun setzt du den Schnittpunkt in die Tangentengleichung ein:

Zitat:

Geradengleichung
$\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = k \cdot x + d \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} d = -3 \end{eqnarray*}$
Meine Tangentengleichung
y = 3x -3

Das kann sicher nicht stimmen, denn wenn du jetzt beispielsweise $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, sollte eigentlich der oben ausgerechnete Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \left( 0,-1 \right) \end{eqnarray*}$ rauskommen, allerdings erhalten wir als y-Wert $\begin{eqnarray*} y = -3 \end{eqnarray*}$ .

PS: Was ich vorhin mit meiner Warnung erreichen wollte, war eigentlich nur dich darauf hinzuweisen, dass du auch mal ausprobieren kannst, ob deine errechneten Lösungen denn auch wirklich Lösungen sind (das ist generell empfehlenswert Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

01.10.2012, 14:42

Tipso

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$\begin{eqnarray*} k = 3x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 3 * 0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 0 \end{eqnarray*}$

Geradengleichung:

$\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = k \cdot x_0 + d \end{eqnarray*}$

[ $\begin{eqnarray*} y_0 = t(x_0) = 0 * 1 + d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = - 1 \end{eqnarray*}$

Meine Tangentengleichung:

$\begin{eqnarray*} y = 3x + -1 \end{eqnarray*}$

Somit wäre die Aufgabe bis auf die Zeichnung gelöst?

Zitat:

Was ich vorhin mit meiner Warnung erreichen wollte, war eigentlich nur dich darauf hinzuweisen, dass du auch mal ausprobieren kannst, ob deine errechneten Lösungen denn auch wirklich Lösungen sind (das ist generell empfehlenswert

Verstehe ich leider nicht.

Die Tangentengleichung gibt die Gleichung der Gerade, die in diesem Fall meine Tangente ist an?

Diese muss - 1 also meinem y Wert übereinstimmen, da sonst die Funktion falsch ist nehme ich an?

Ps.
Ich bin um 17 30 weg und werde erst wieder um 10 anwesend sein.
Wenn du Zeit + Lust hast, werde ich eine weitere Aufgabe lösen und hoffen es diesmal sehr weit ohne Hilfe zu schaffen.

Danke für deine große Hilfe. Willkommen

Willkommen

01.10.2012, 14:56

AlphaCentauri

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Naja, diesmal stimmen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ , aber leider hast du dich bei deiner Tangentengleichung vertan...bedenke, dass $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ gilt! (Also ist deine Tangentengleichung nicht $\begin{eqnarray*} y = 3x - 1 \end{eqnarray*}$ )
Nochmal zu meiner Warnung: Du hattest als mögliche Lösungen für die Gleichung $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{1} \end{eqnarray*}$ zum einen $\begin{eqnarray*} x_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$ berechnet. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} x_2 = -1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{1} \end{eqnarray*}$ , denn erfüllt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Gleichung, dann ist $\begin{eqnarray*} x^3 = 1 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} x_2^3 = (-1)^3 = -1 \neq 1 \end{eqnarray*}$ .
Worauf ich also hinauswollte: Nachdem du Nullstellen oder Schnittpunkte etc berechnet hast ist es sinnvoll deine errechneten Werte mal in die ursprüngliche Gleichung einzusetzten und zu überprüfen, ob es sich um eine Nullstelle, Schnittpunkt o.ä. handelt.
Was deine weitere Aufgabe angeht, so denke ich, dass ich dir heute Abend bei Problemen sicher zu Seite stehen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Grüße, Alpha smile

smile

01.10.2012, 15:01

Tipso

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Meine Tangentengleichung für x = 0,

$\begin{eqnarray*} y = 0*x - 1 \end{eqnarray*}$

Ich wollte die "0" anfangs weglassen aber da es einen gravierenden Unterschied hat glaube ich das es ein Fehler wäre.

Ich glaube deine Warnung verstanden zu haben.
Wenn ich vorhin überprüft hätte wäre mir aufgefallen das mit x = 1, etwas nicht stimmen kann.

Thx für den Tipp.

Bis später. Freude

Freude

01.10.2012, 15:14

AlphaCentauri

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Deine Aussage

Zitat:

Meine Tangentengleichung für x = 0
$\begin{eqnarray*} y = 0 * x -1 \end{eqnarray*}$

ist ein bissle doppeldeutig. Es wäre besser zu schreiben, dass die Tangentengleichung für den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \left( 0, -1 \right) \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} t(x) = -1 \end{eqnarray*}$ .

Bis später Wink

Wink

01.10.2012, 20:25

Tipso

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Hi,

Wink

Es geht weiter:

Leiten Sie für die Funktion f: y = 1/4 x^2 - 4x den allgemeinen Differentialquotienten her
und ermitteln Sie dann die Gleichungen der Tangenten für die Punkte P (-2, f(-2)) und
Q (2, f(2)).
Zeichnen Sie anschließend den Grafen der Funktion f im Intervall [-2,18] und die beiden
berechneten Tangenten! Verwenden Sie als Einheiten auf den Achsen jeweils 0,5 cm!

lg

01.10.2012, 20:28

Tipso

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Zitat:

Original von AlphaCentauri
Deine Aussage

Zitat:

Meine Tangentengleichung für x = 0
$\begin{eqnarray*} y = 0 * x -1 \end{eqnarray*}$

ist ein bissle doppeldeutig. Es wäre besser zu schreiben, dass die Tangentengleichung für den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \left( 0, -1 \right) \end{eqnarray*}$ gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} t(x) = -1 \end{eqnarray*}$ .

Bis später Wink

Wink

Wie schreibe ich das an und warum t(x)

Tangentengleichung

Schnittpunkt (0, -1)

t(x) = -1

weil 0 * x sowieso immer 0 ergibt lassen wir es weg, nehme ich mal an.

lg

01.10.2012, 20:53

AlphaCentauri

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Okay, erstmal etwas zu deinem letzten Post:
Wann und warum habe ich dort $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ geschrieben?
Naja, in der Schule lernt man gewöhnlich für eine lineare Funktion (und die Tangente ist solch eine lineare Funktion) die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x +d \end{eqnarray*}$ kennen. Für andere, nicht lineare Funktion, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ schreibt man gewöhnlich $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ . Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man aus ihr 1. den Namen für die Funktion erkennt (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) und 2. wovon $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängt (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ). Die zweite Schreibweise hat also den Vorteil, dass jeder Leser sofort erkennt, dass meine Funktion, die ich betrachte, von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Man könnte ja sonst auf die Idee kommen, dass bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x + d \end{eqnarray*}$ nicht etwa $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern zum Beispiel $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Variable ist. (Das wäre sicher eine ungewöhnliche Bezeichnung, ist aber nicht verboten!)
Deshalb habe ich mir angewöhnt, auch für lineare Funktionen die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. in unserem Fall (weil es sich um eine Tangente handelt) $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ anzuwenden. Es ist aber für die Schule sicher nicht falsch, wenn du weiterhin für deine Tangenten $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x +n \end{eqnarray*}$ verwendest.
Zu deiner zweiten Frage:

Zitat:

t(x) = -1
weil 0 * x sowieso immer 0 ergibt [...]

Absolut richtig Freude

Freude

Jetzt zu deiner aktuellen Aufgabe:
Ich würde vorschlagen, dass du einfach mal versuchst sie selbstständig zu lösen und solltest du fragen haben, kannst du dich gern melden Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2012, 21:13

Tipso

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Zitat:

Original von AlphaCentauri
Okay, erstmal etwas zu deinem letzten Post:
Wann und warum habe ich dort $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ geschrieben?
Naja, in der Schule lernt man gewöhnlich für eine lineare Funktion (und die Tangente ist solch eine lineare Funktion) die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x +d \end{eqnarray*}$ kennen. Für andere, nicht lineare Funktion, also zum Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ schreibt man gewöhnlich $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ . Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man aus ihr 1. den Namen für die Funktion erkennt (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) und 2. wovon $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abhängt (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ). Die zweite Schreibweise hat also den Vorteil, dass jeder Leser sofort erkennt, dass meine Funktion, die ich betrachte, von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Man könnte ja sonst auf die Idee kommen, dass bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x + d \end{eqnarray*}$ nicht etwa $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern zum Beispiel $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Variable ist. (Das wäre sicher eine ungewöhnliche Bezeichnung, ist aber nicht verboten!)
Deshalb habe ich mir angewöhnt, auch für lineare Funktionen die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. in unserem Fall (weil es sich um eine Tangente handelt) $\begin{eqnarray*} t(x) \end{eqnarray*}$ anzuwenden. Es ist aber für die Schule sicher nicht falsch, wenn du weiterhin für deine Tangenten $\begin{eqnarray*} y = k \cdot x +n \end{eqnarray*}$ verwendest.

In unserer vorherigen Aufgabe wo wir ein d als Lösung haben ist die Variabel ja klar nur bei dieser nicht?

Ich hoffe das habe ich richtig verstanden.

Ich werde mein bestes versuchen, die neue Aufgabe zu lösen.

Funktion
$\begin{eqnarray*} f: y = 1/4 x^2 - 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{1}{4 * (x_0 + h)^2} - 4*(x_0 + h) - \frac{1}{4} * (x_0 + h) - 4*(x_0 + h)/h \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe es soweit richtig?
Nun verstehe ich hier zB. nicht warum ich dies tue und warum es so stimmt?
Dazu warum f(x_0 + h) fast gleich wie f(x_0) ist?

lg

01.10.2012, 21:27

AlphaCentauri

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Zitat:

In unserer vorherigen Aufgabe wo wir ein d als Lösung haben ist die Variable ja klar nur bei dieser nicht?

Jein...es ist klar, dass die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist , aber nur weil wir beide uns darauf verständigt haben. Wenn nun ein Dritter diesen Thread liest und es gewöhnt ist, dass seine Variablen $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ heißen, dann könnte er sich fragen von was $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eigentlich abhängt, wenn wir $\begin{eqnarray*} y = k\cdot x + d \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zu der Aufgabe:
Erstmal finde ich es gut, dass du jetzt mit LaTeX arbeitest, aber du musst aufpassen, dass deine Formeln richtig dargestellt werden (dafür gibt es ja den " Vorschau"-Button im Editor Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Denke auch an den Formeleditor!
Es müsste also vielmehr folgender Grenzwert betrachtet werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{4} (x_0 + h)^2 - 4 (x_0 + h) - \left( \frac{1}{4} x_0^2 - 4 x_0 \right) }{h} \end{eqnarray*}$
Jetzt heißt es wieder ausmultiplizieren, kürzen und Grenzwert berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Nun verstehe ich hier zb. nicht warum ich dies tue und warum es so stimmt.

verwirrt

Da musst du mir näher erläutern, was du nicht verstehst.

01.10.2012, 21:48

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Tipso

Bitte beachte: Neues Thema - neuer Thread.

Sonst werden deine Threads - wie so oft - endlos lang und niemand hat mehr einen Überblick.

01.10.2012, 21:52

Tipso

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Zitat:

Original von AlphaCentauri

Zitat:

In unserer vorherigen Aufgabe wo wir ein d als Lösung haben ist die Variable ja klar nur bei dieser nicht?

Jein...es ist klar, dass die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist , aber nur weil wir beide uns darauf verständigt haben. Wenn nun ein Dritter diesen Thread liest und es gewöhnt ist, dass seine Variablen $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ heißen, dann könnte er sich fragen von was $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ eigentlich abhängt, wenn wir $\begin{eqnarray*} y = k\cdot x + d \end{eqnarray*}$ schreiben.

Ich bin jetzt noch mehr durcheinander. (leider)
Alles hängt vom x ab. Je nachdem welche Variabel wir eingeben, bei dieser Angabe würde es von y abhängen. $\begin{eqnarray*} y = k\cdot x + d \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zu der Aufgabe:
Erstmal finde ich es gut, dass du jetzt mit LaTeX arbeitest, aber du musst aufpassen, dass deine Formeln richtig dargestellt werden (dafür gibt es ja den " Vorschau"-Button im Editor Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Denke auch an den Formeleditor!
Es müsste also vielmehr folgender Grenzwert betrachtet werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{4} (x_0 + h)^2 - 4 (x_0 + h) - \left( \frac{1}{4} x_0^2 - 4 x_0 \right) }{h} \end{eqnarray*}$
Jetzt heißt es wieder ausmultiplizieren, kürzen und Grenzwert berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe schon damit gearbeitet jedoch falsch gelesen, dachte es wäre:

1/ 4*x^2 statt (1/4)*x^2

Zitat:

Zitat:

Nun verstehe ich hier zb. nicht warum ich dies tue und warum es so stimmt.

verwirrt

Da musst du mir näher erläutern, was du nicht verstehst.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{4} (x_0 + h)^2 - 4 (x_0 + h) - \left( \frac{1}{4} x_0^2 - 4 x_0 \right) }{h} \end{eqnarray*}$

Warum:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (x_0 + h)^2 - 4 (x_0 + h) = f(x_0 + h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{4} x_0^2 - 4 x_0 \right) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Ich vertue mich hier sehr sehr oft.

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{4} (x_0 + h)^2 - 4 (x_0 + h) - \left( \frac{1}{4} x_0^2 - 4 x_0 \right) }{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} * x_0^2 + 2x_oh + h^2 - 4x_0 + 4h - \frac{1}{4} * x^2_0 + 4x_0/h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_0h + h^2 + h /h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_0 + h \end{eqnarray*}$

Grenzwert $\begin{eqnarray*} = 2x_0 \end{eqnarray*}$

Richtig?!

Meine Fragen:

2x_0h /h = 2x_0 * 2h /h = 2x_0 * h

wie wäre es bei:

2 *(x_0*h)/h = 2x_0 * 2h/h = 2x_0/h * h

Verstehe dies aber nicht so ganz. Werde mich über Bruche kürzen einlesen müssen.

2. Frage

Was darf der Grenzwert sein? Was darf er nicht sein?

Grenzwert: 2x_0*h -h^3?

Möglich? Warum ist dies nicht möglich? Warum muss x_0 alleine, also ohne h stehen?

lg

01.10.2012, 22:10

AlphaCentauri

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Okay,
das sind eine Menge Fragen und ich würde vorschlagen, dass wir uns die Morgen einzeln vornehmen und an dieser Stelle (und dieser Uhrzeit) damit aufhören. Ich würde dir außerdem empfehlen den Wiki-Artikel über Funktionen zu lesen, vielleicht löst das deine Probleme mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x_0 + h) =... \end{eqnarray*}$ und erklärt dir was du wo einsetzten musst. Ansonsten können wir das auch gern morgen diskutieren.

bis später Wink

Wink

Alpha

01.10.2012, 22:19

Tipso

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Passt. Danke.

Ich werde versuchen diese Aufgabe heute fertigzustellen, schau es dir einfach Morgen an.

Werde mich zu Funktionen wiederholt einlesen. Thx für den Tipp.

Lg

Ps.
G8

@Sulo

Werde darauf achten. Willkommen

Willkommen

06.10.2012, 15:11

Tipso

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Hi,

Interesse das zu Ende zu führen?

lg

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