Kombinatorik Problem

30.09.2012, 17:15

Manne2

Kombinatorik Problem

Hallo Mathefreunde,

ich habe eine Frage zu einem Kombinatorikproblem.

Beispiel:

Kombination von 6 Dingen zur Klasse 3

z.B. Wieviele 3-er Kombinationen können aus 6 Zahlen gebildet werden:

Berechnung:

6!
------------- =20 Kombinationen (Kombinationen ohne Zurücklegen)
(6-3)!*3!

Geordnete Auflistung der Möglichkeiten:

Position 01: 123
Position 02: 124
Position 03: 125
Position 04: 126
Position 05: 134
Position 06: 135
Position 07: 136
Position 08: 145
Position 09: 146
Position 10: 156
Position 11: 234
Position 12: 235
Position 13: 236
Position 14: 245
Position 15: 246
Position 16: 256
Position 17: 345
Position 18: 346
Position 19: 356
Position 20: 456

Das ist soweit klar.

Mich würde aber nun interessieren, ob es eine Möglichkeit gibt die Position einer solchen 3-er Kombination
in dieser geordneten Auflistung zu bestimmen:

Also z.B:

Welche Kombination steht an Position 14 der geordneten Auflistung?

Oder der umgekehrte Fall, an welcher Position in der Auflistung steht die Kombination 345?

30.09.2012, 18:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manne2
Oder der umgekehrte Fall, an welcher Position in der Auflistung steht die Kombination 345?

Das geht so ähnlich wie hier im Spezialfall "6 aus 49" beschrieben:

Formel Summe von Binomialkoeffizienten erklären

01.10.2012, 11:07

Manne2

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Hallo HAL 9000,

danke für den interessanten Link. Damit konnte ich einen Teil meines Problems lösen. Mit den umgekehrten Fall (aus einer Ordnungszahl die zugehörige Kombination bestimmen) bin ich z.Z. noch nicht weitergekommen.
Als junger Mann (vor ca. 30 Jahren) hatte ich dafür schon mal eine Lösung gefunden, aber als fast Rentner funktioniert die Rübe wahrscheinlich doch nicht mehr so gut :-). Werde darüber weiter nachdenken.

Manne2

01.10.2012, 12:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Manne2
Mit den umgekehrten Fall (aus einer Ordnungszahl die zugehörige Kombination bestimmen) bin ich z.Z. noch nicht weitergekommen.

Ich sehe da eigentlich kaum einen anderen Weg, als auch über diese Formel

$\begin{eqnarray*} O = 1+\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=a_{i-1} + 1}^{a_i - 1} \binom{n-j}{k-i} \end{eqnarray*}$

zu gehen: Beginnend mit $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ summierst du $\begin{eqnarray*} \binom{n-j}{k-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ solange auf, wie du unterhalb $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ bleibst - der letzte Index, der das erfüllt sei $\begin{eqnarray*} j^* \end{eqnarray*}$ - und dann setzt du $\begin{eqnarray*} a_1:=j^*+1 \end{eqnarray*}$ .

Auf die so erreichte Summe addierst du dann für $\begin{eqnarray*} i=2 \end{eqnarray*}$ die Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n-j}{k-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=a_1+1,a_1+2,\ldots \end{eqnarray*}$ wiederum nur solange, wie du unter $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ bleibst [...] und setzt $\begin{eqnarray*} a_2:=j^*+1 \end{eqnarray*}$ usw.

Ich sehe kaum eine Chance, wie man es einfacher machen kann, und es ist ja durchaus auch für große $\begin{eqnarray*} n,k \end{eqnarray*}$ eine praktikable Methode.

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