Komplexe Folgenräume

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30.09.2012, 17:46	Ulf F	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Folgenräume Meine Frage: Wir definieren die (reellen oder komplexen) Folgenräume $\begin{eqnarray} l_1 = \left\{ a=(a_n )_{n\in N}: \sum_{n=0}^{\infty} \|a_n \| < \infty \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_2 = \left\{ a=(a_n )_{n\in N}: \sum_{n=0}^{\infty} \|a_n \|^2 < \infty \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} l_3 = \left\{ a=(a_n )_{n\in N}: \sup_{n\geq 0} \|a_n \| < \infty \right\} \end{eqnarray}$ a) Addition zweier Folgen und Skalarmultiplikation einer Folge definieren wir komponentenweise. Zeigen sie, dass auf diese Weise 3 Vektoräume entstehen. b) Wir definieren die Funktionen $\begin{eqnarray} \|\|\cdot\|\|_p : l_p -> \|R , p=1,2,\infty \end{eqnarray}$ , gemäß $\begin{eqnarray} \|\|a\|\|_1 =\sum_{n=0}^{\infty}\|a_n\|, \|\|a\|\|_2 =\left(\sum_{n=0}^{\infty}\|a_n\|^2\right)^{1/2}, \|\|a\|\|_{\infty}=\sup_{n\geq 0}\|a_n\| . \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \|\|\cdot\|\|_p \end{eqnarray}$ eine Norm für den Vektorraum $\begin{eqnarray} l_p \end{eqnarray}$ ist. c) Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} (l_p \|\|\cdot\|\|_p) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p=1,2,\infty \end{eqnarray}$ jeweils ein Banachraum ist. d) Zeigen sie die Beziehungen $\begin{eqnarray} l_1\subset l_2\subset l_{\infty}, \, aber \, \, l_1\neq l_2\neq l_{infty} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hänge Leider schon an Teil a) zwar weiß ich dass zu Zeigen ist dass Addition und Skalarmultiplikation mit einer Folge oder einem Skalar nicht aus dem Raum herausführen dürfen um die Kriterien des Vektorraums zu erfüllen, jedoch bin ich total ratlos mit welchem Satz oder Kriterieum dies zu zeigen ist....
30.09.2012, 17:57	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume nimm halt z.b. die summe zweier folgen, und zeige, dass die als folge wieder die geforderte eig. des raumes hat (also abgeschlossenheit, genauso mit skalarer mult.). alle eigenschaften (rechenregeln) der add./skalarmult. führst du - entsprechend der gegebenen definition (komponentenweise add./skalarm.) auf bekannte regeln zurück. lg
01.10.2012, 11:32	Ulf F.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume für Abgeschlossenheit muss ich doch zeigen, dass die Summe der Einzelfolgen bzw die Folge skalarmultipliziert konvergiert, oder? Aber wie soll ich Konvergenz durch die üblichen Kriterien denn bei einer allgemeinen Nullfolge beweisen?
01.10.2012, 11:37	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Hallo, die üblichen Kriterien sind hier auch absolut fehl am Platz! Nehmen wir beispielsweise die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} l_1 \end{eqnarray}$ bzgl. Addition. Seinen also $\begin{eqnarray} a_n, b_n \in l_1 \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray} a_n+b_n \in l_1 \end{eqnarray}$ . Um das nachzuweisen müssen wir was zeigen?
01.10.2012, 11:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Kurzer $\begin{eqnarray} \text{\LaTeX} \end{eqnarray}$ -Hinweis: Das entsprechende l erzeugt man per \ell: $\begin{eqnarray} \ell \end{eqnarray}$ . (Für Normen würde ich statt \|\| übrigens \lVert und \rVert oder zumindest \\| empfehlen. Für den Pfeil "->" gibt es den Befeh \to, die reellen Zahen erhält man per \mathbb R, analog die natürlichen)
01.10.2012, 12:12	Ulf F,	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume naja ich muss zeigen dass auch die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty a_n + b_n \end{eqnarray}$ konvergiert, oder? aber wie ich das bei allgemeinen Folgen zeigen soll ist mir ein rätsel..
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01.10.2012, 12:20	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Nein! Du musst zeigen, dass für die Reihe gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert a_n + b_n \vert < \infty \end{eqnarray}$ . Was weißt du aber über $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ , wenn beide aus $\begin{eqnarray} \ell_1 \end{eqnarray}$ stammen?
01.10.2012, 12:32	Ulf-F	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume dass beides Nullfolgen sein müssen und somit auch ihre Summe, wenn ich das richtig verstanden habe
01.10.2012, 12:43	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Naja, also sicher sind $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ Nullfolgen, aber das bringt dich hier ja auch nicht viel weiter. Entscheidend ist, dass beide aus $\begin{eqnarray} \ell_1 \end{eqnarray}$ stammen, also für beide gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert a_n \vert < \infty \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert b_n \vert < \infty \end{eqnarray}$ . Nun hast du $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert a_n + b_n \vert \end{eqnarray}$ gegeben und sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \vert a_n + b_n \vert < \infty \end{eqnarray}$ gilt. Hinweis: Vielleicht hiflt es dir ja, erstmal nur endliche Summen zu betrachten und denke an die Dreiecksungleichung
01.10.2012, 17:03	Ulf Fa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume wenn ich die Dreiecks ungelichung anwende ist es doch im prinzip sofort gelöst, oder? da ja dann der kombinierte teil kleiner gleich den einzelnen ist und diese wiederum beide kleiner unendlich sind? und zwei endliche mengen addiert geben ja wieder eine endliche.. passt das soweit? und wenn ich ein skalar damit multipliziere kann ich es ja einfach aus der summer herausziehen, und habe somit k mal einer endlichen menge und somit immer noch eine endliche, womit ja eigentlich für den $\begin{eqnarray} \ell_1 \end{eqnarray}$ bewiesen ist dass ein Vektorraum entsteht, oder?
01.10.2012, 17:25	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Die Idee stimmt, allerdings müsste man das natürlich noch formal aufschreiben Und bitte beachte, dass es sich nicht um endliche Mengen handelt, sondern um Reihen mit endlichen Werten. Damit hast du dann auch schon bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \ell_1 \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist Für die Fälle $\begin{eqnarray} \ell_2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \ell_3 \end{eqnarray}$ (sicher, dass es nicht $\begin{eqnarray} \ell_\infty \end{eqnarray}$ ist?) schlage ich vor, dass du zuerst zeigst, dass $\begin{eqnarray} \vert \vert \cdot \vert \vert_p \end{eqnarray}$ eine Norm auf $\begin{eqnarray} \ell_p \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} p = 1,2, \infty \end{eqnarray}$ ) ist. Denn anschließend siehst du die nötigen Abschätzungen, die du für die Nachweise der Untervektorraum-Eigenschaften brauchst, erheblich schneller
01.10.2012, 17:45	Ulf Fa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume ja $\begin{eqnarray} \ell_{\infty} \end{eqnarray}$ stimmt, hab mich vertan. mir ist gerade noch eingefallen dass ein Vektorraum doch immer den null-vektor enthalten muss, ist dies bei $\begin{eqnarray} \ell_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ell_2 \end{eqnarray}$ dadurch gegeben dass es sich um Nullfolgen handelt? und wie sieht es dann beim $\begin{eqnarray} \ell_{\infty} \end{eqnarray}$ aus?
01.10.2012, 17:53	AlphaCentauri	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume Du hast natürlich Recht: Es bleibt noch zu zeigen (oder eher zu erwähnen), dass $\begin{eqnarray} \ell_1, \ell_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ell_\infty \end{eqnarray}$ nicht leer sind bzw. das Null-Element enthalten. Dafür reicht es allerdings nicht zu sagen, dass die Elemente dieser Räume Nullfolgen sind! Vielmehr ist tatsächlich ein Nullelement anzugeben. Das ist aber sicher nicht so schwer zu finden, wenn du berücksichtigst, dass für das Null-Element $\begin{eqnarray} e_n \end{eqnarray}$ gelten muss: $\begin{eqnarray} a_n+e_n = a_n \text{ } \forall \left( a_n \right)_{n \in \mathbb N} \in \ell_p \text{ } \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p =1,2,\infty \end{eqnarray}$ . Der Nachweis, dass $\begin{eqnarray} e_n \in \ell_p \end{eqnarray}$ gilt, ist dann nur noch ein Ein-Zeiler
01.10.2012, 17:55	Ulf Fa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komlexe Folgenräume okay vielen dank =) dann schau ich mal wie ich mit dem rest der aufgabe und des ganzen blattes zurechtkomme

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