Unabhängigkeit Rang- und Ordnungsstatistik

30.09.2012, 18:47

Gast11022013

Unabhängigkeit Rang- und Ordnungsstatistik

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray*}$ i.i.d. F, F stetig. Dann gilt, daß die Ordnungsstatistik $\begin{eqnarray*} X=(X_{(1)},\hdots,X_{(n)}) \end{eqnarray*}$ und die Rangstatistik $\begin{eqnarray*} R(X_1,\hdots,X_n) \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig sind.

In der Vorlesung haben wir gezeigt:

$\begin{eqnarray*} P(X\in B,R=\Pi)=P(R=\Pi)\cdot P(X\in B) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \Pi\in\mathcal{\Pi}_n=\mbox{ Menge aller Permutationen auf }\left\{1,\hdots,n\right\} \end{eqnarray*}$

So richtig verstehe ich den Beweis aber nicht.

Meine Ideen:
Aus der Vorlesung:

$\begin{eqnarray*} P((X_{(1)},\hdots,X_{(n)})\in B,R=\Pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(X\in B\cap R_{\leq}^{n}, R=\Pi) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} x_{(i)}=x_{d_i} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d=[R(X_1,\hdots,X_n)]^{-1} \end{eqnarray*}$ und daher wegen $\begin{eqnarray*} R=\Pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} =P(X\in B\cap R_{\leq}^{n}, R=\Pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P((X_{\Pi^{-1}(1)},\hdots,X_{\Pi^{-1}(n)})\in B\cap \mathbb{R}_{\leq}^{n}, R=\Pi) \end{eqnarray*}$

Nun kommt der Beginn dessen, was ich nicht mehr nachvollziehen kann.

Da steht nun:

Wenn $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray*}$ beliebig sind, ist $\begin{eqnarray*} R=\Pi \end{eqnarray*}$ enthalten, daher gehts weiter mit

$\begin{eqnarray*} =P(\Pi^{-1}(X_1,\hdots,X_n)\in B\cap \mathbb{R}_{\leq}^{n}) \end{eqnarray*}$

Wegen der i.i.d-Voraussetzung folgt:

$\begin{eqnarray*} =P(X\in B\cap\mathbb{R}_{\leq}^{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n!}P(X\in B\cap\mathbb{R}_{\leq}^{n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =P(R=\Pi)\cdot P(X\in B) \end{eqnarray*}$

Kann mir das vllt. jemand erklären?

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Ich sehe gerade, daß man das Ganze auch anders beweisen kann; dieser Beweis ist mir persönlich klarer und lieber:

Zitat:

Büning/ Trenkler: "Nichtparametrische statistische Methoden", 2., völlig neu bearbeitete Auflage, S. 56

Satz 5: Die unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray*}$ seien stetig und identisch verteilt. Ferner seien $\begin{eqnarray*} Y=(Y_1,\hdots,Y_n) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} R=(R_1,\hdots,R_n) \end{eqnarray*}$ die geordnete Statistik bzw. der Rangvektor von $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und []R[/l] sind unabhängig.

Beweis: Wir betrachten $\begin{eqnarray*} R=(1,2,\hdots,n) \end{eqnarray*}$ . Bezeichnet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_n \end{eqnarray*}$ bzw. die Randdichte, so ergibt sich für die bedingte Dichte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bei gegebenen $\begin{eqnarray*} R=r=(1,2,\hdots,n) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g(y_1,\hdots,y_n|R=r)=\frac{f(y_1,\hdots,y_n)}{P(R=r)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{f_X(y_1)f_X(y_2)\cdot\hdots\cdot f_X(y_n)}{1/n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =n!f_X(y_1)f_X(y_2)\cdot\hdots\cdot f_X(y_n) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} y_1< y_2<\hdots <y_n \end{eqnarray*}$ . Das ist gerade die unbedingte Dichte von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ nach Satz 4. Für andere Permutationen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (1,2,\hdots,n) \end{eqnarray*}$ ist die Argumentation dann analog.

edit von sulo: Doppelpost zusammengefügt.

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