Lösungsmenge eines Nichtlinearen Gleichungssystems

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Rubin Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge eines Nichtlinearen Gleichungssystems
Meine Frage:
Hallo Leute.

Ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und muss die Lösungsmenge eines Nichtlinearen Gleichungssystem berechen.

Das Gleichungssystem lautet:
\begin{pmatrix} 2x(1+z)+y \\ 4y(1+z)+x \\ x^{2} + 2y^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}

Meine Ideen:
Also ich hätte jetzt die letzte Gleichung nach x aufgelöst, d.h. x= \sqrt{2-2y^{2} } . Das würde ich nun in die erste Gleichung einsetzen:
2\sqrt{2-2y^{2} } (1+z)+y. Jetzt komm ich aber nicht mehr weiter, weil da zweimal y steht...

Hat vllt. jemand irgendeine Idee und kann mir weiterhelfen? Danke!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge eines Nichtlinearen Gleichungssystems
Zitat:
Original von Rubin
Das Gleichungssystem lautet:


Solche nichtlinearen Gleichungssysteme löst man prinzipiell durch Fallunterscheidung:

1. Fall: x=0
2. Fall: y=0
3. Fall: Weder x noch y sind 0

Im 3.Fall darfst du dann bedenkenlos die erste Gleichung mit 2y und die zweite Gleichung mit x multiplizieren und dann die Differenz bilden...

PS: Es ist für mich immer wieder aufs Neue erschreckend, wie unglaublich fantasielos die Leute bei solchen GS zu Werke gehen... geschockt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Kleine Variante:
Bei Mystics Weg könnte man sogar auf die Fallunterscheidung verzichten, wenn man sich bewußt ist, daß man dann keine Äquivalenzumformung mehr hat. Man kann aber auf keinen Fall Lösungen verlieren und bekommt so die allein möglichen Kandidaten für Lösungstripel. Mit der Probe am Ausgangssystem kann man "falsche Lösungen" aussondern.
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab aber keine Ahnung, wie ich das machen soll mit der Fallunterscheidung.

Nichtlineare Gleichungssysteme hab ich noch nie in der Schule und auch noch nie im Studium gemacht, aber trotzdem kommen solche Aufgaben oft in der Klausur vor.

Könnt ihr mir eig sagen, wie man da rangehen muss.Wie bekommt man denn allgemein die Lösungen bei einem Nichtlinearen Gleichungssystem raus? Gibt es immer so ein bestimmtes Schema?

Gruß Rubin
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
Könnt ihr mir eig sagen, wie man da rangehen muss.Wie bekommt man denn allgemein die Lösungen bei einem Nichtlinearen Gleichungssystem raus? Gibt es immer so ein bestimmtes Schema?

Es gibt das Grundprinzip "Elimination von Variablen", oftmals erst in Verbindung mit Fallunterscheidung. Das war's aber auch schon so ziemlich, der Rest ist das von der konkreten Struktur abhängig.

Und zur Elimination von hat dir Mystic ja schon den entscheidenden Hinweis gegeben:

Zitat:
Original von Mystic
die erste Gleichung mit 2y und die zweite Gleichung mit x multiplizieren und dann die Differenz bilden...


Zitat:
Original von Rubin
Ich hab aber keine Ahnung, wie ich das machen soll mit der Fallunterscheidung.

Fallunterscheidungen sind nichts, was man aus Lust und Laune tut - sie drängen sich auf, weil man sonst mit Umformungen/Vereinfachungen im allgemeinen Fall nicht weiter kommt! Ist das nicht nötig, dann macht man eben keine Fallunterscheidung - so einfach ist das.
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge eines Nichtlinearen Gleichungssystems
Zitat:
Original von Mystic
Solche nichtlinearen Gleichungssysteme löst man prinzipiell durch Fallunterscheidung:

1. Fall: x=0
2. Fall: y=0
3. Fall: Weder x noch y sind 0

Im 3.Fall darfst du dann bedenkenlos die erste Gleichung mit 2y und die zweite Gleichung mit x multiplizieren und dann die Differenz bilden...


okay wenn ich nun den 1.Fall betrachte, dann muss ich für alle 3 Gleichungen für x=0 einsetzen,also:
=

2.Fall: =

Beim 3.Fall muss man ja die Differenz bilden, also: = und dann auflösen.

hab ich das soweit richtig gemacht?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
okay wenn ich nun den 1.Fall betrachte, dann muss ich für alle 3 Gleichungen für x=0 einsetzen,also:
=

Abgesehen davon, dass in der dritten Zeile eigentlich erstmal nur stehen muss, sollte man das nicht so stehen lassen, sondern gleich Nägel mit Köpfen machen: und zugleich widersprechen einander, also gibt es hier in diesem Fall x=0 keine Lösung. Ähnliches gilt für den zweiten Fall y=0.

Ich bin aber - zumindest, was die vorliegende Aufgabe betrifft - eher der Meinung von Leopold, dass man ruhig erstmal nichtäquivalent umformt und evtl, Scheinlösungen hier in der Probe aussiebt - das erspart eine Menge Arbeit. Es konzentriert sich also auf das, was du im dritten Fall noch zu tun hast.
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000

Abgesehen davon, dass in der dritten Zeile eigentlich erstmal nur stehen muss, sollte man das nicht so stehen lassen, sondern gleich Nägel mit Köpfen machen: und zugleich widersprechen einander, also gibt es hier in diesem Fall x=0 keine Lösung. Ähnliches gilt für den zweiten Fall y=0.


dann gibt es aber auch für den 2.Fall keine Lösung, da man zwei verschiedene x-en hat?!

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich bin aber - zumindest, was die vorliegende Aufgabe betrifft - eher der Meinung von Leopold, dass man ruhig erstmal nichtäquivalent umformt und evtl, Scheinlösungen hier in der Probe aussiebt - das erspart eine Menge Arbeit. Es konzentriert sich also auf das, was du im dritten Fall noch zu tun hast.


D.h.es kommen in die Lösungsmenge nur die Lösungen, die ich bei dem 3.Fall rauskriege? Also nur x und y?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
D.h.es kommen in die Lösungsmenge nur die Lösungen, die ich bei dem 3.Fall rauskriege? Also nur x und y?

Da es in den ersten zwei Fällen nach diesen Überlegungen keine Lösungen gibt, ist das ja wohl die zwangsläufige Konsequenz, ja.

Zitat:
Original von Rubin
Beim 3.Fall muss man ja die Differenz bilden, also:

hab ich das soweit richtig gemacht?

Die zweite Zeile ist zu großen Teilen missraten:

Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000


=

=

=

=


stimmts? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine geradezu erschreckende Art, schlampig mit Termen umzugehen - die Fehlerquote ist für einen intelligenten Menschen (wovon ich wegen "Hochschulmathematik" eigentlich ausgehe) geradezu exorbitant hoch:

Wieso wird jetzt bei dir aus ein ??? unglücklich
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß auch nicht wie ich da drauf komme, hab mich vllt. verguckt oder so?!?
[/quote]

=

=

=

jetzt die obere Gleichung quadrieren, damit die Wurzel verschwindet.



und dann nach y einsetzen..

ich hoffe es ist jetzt richtig, sonst werd ich noch wahnsinnig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man ist schlecht beraten, voreilig Wurzeln zu ziehen: Aus folgt eben nicht sofort , sondern zunächst nur mit den beiden Möglichkeiten sowie , was Fallunterscheidung bedeuten würde.

Es ist die Kunst, sowas möglichst oder zumindest doch so lange wie möglich zu umgehen. Im vorliegenden Fall etwa durch Addition deiner beiden Gleichungen, was die Elimination von bewirkt:



Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es ist die Kunst, sowas möglichst oder zumindest doch so lange wie möglich zu umgehen. Im vorliegenden Fall etwa durch Addition deiner beiden Gleichungen, was die Elimination von bewirkt:





also kann bei nichtlinearen Gleichungssystemen am ende auch nur eine Variable in der Lösungsmenge stehen! Gut, das wusste ich nicht..

aber ich glaube, es muss heißen ,oder?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es ist die Kunst, sowas möglichst oder zumindest doch so lange wie möglich zu umgehen. Im vorliegenden Fall etwa durch Addition deiner beiden Gleichungen, was die Elimination von bewirkt:




Fast... Big Laugh

Aber



ist ja auch viel schöner... Augenzwinkern
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. die Lösungsmenge von diesem Gleichungssystem ist L={x=2 und x= - }
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das sind nur x-Werte, die mal prinzipiell überhaupt in Frage kommen... Lösungen sind ja hier immer Tripeln von reellen Zahlen...
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

aber y und z haben wir doch eliminitert, wie schreibt man das dann als Tripel?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, y und z haben wir eliminiert? Meinst du, dasss z.B. die 3. Gleichung



vom Anfang jetzt plötzlich nicht mehr gelten muss? Und bist du ferner sicher, dass es zu x=2 eine reelle Lösung für y gibt? Irgendwie kann ich deinen Gedankengängen nicht so ganz folgen... unglücklich
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm irgendwie komm ich selbst nicht mehr klar..
ich bin völlig verwirrt.. verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Um das klarzustellen: Lösungen des Gleichungssystems sind Zahlentripel , die alle drei Gleichungen, und zwar die originalen, simultan (d.h. gleichzeitig) erfüllen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
aber ich glaube, es muss heißen ,oder?

Ja natürlich - das muss wohl ansteckend sein mit den Fehlern. Kann aber auch dran liegen, dass ich heute den ersten Tag in meinem Leben eine Gleitsichtbrille trage. Augenzwinkern
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

wie dem auch sei, schlauer bin ich nicht geworden durch eure/deine erklärungen...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du tust gerade so, als wäre das überhaupt das erste Gleichungssystem (linear oder nicht), welches du in deinem Leben löst. unglücklich


Du musst nun zu jedem ermittelten -Wert auch dazu passende Werte von ermitteln, so dass insgesamt das Tripel das System erfüllt!!! Nehmen wir z.B. : Entweder hast du im bisherigen Verlauf schon eine Eliminationsgleichung gefunden, oder du musst sie erst noch aufstellen:

Das kann z.B. aus geschehen, indem du nach umstellst. Aber wieder aufpassen beim Wurzelziehen!
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich ehrlich bin, ist es das erste Gleichungssystem, das ich in meinem Leben je gelöst habe.
In der Schule hab ich noch nie Gleichungssystem gemacht und bei uns in den Übungen (Studium) wird das auch nicht gemacht.
Aber in der Klausur wird das gerne abgefragt,leider!

Ich probier das später mal, mal schauen ob ich was rausbekomme..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
wenn ich ehrlich bin, ist es das erste Gleichungssystem, das ich in meinem Leben je gelöst habe.

Nicht mal lineare??? Kaum zu glauben, dann muss dir sofort das Abitur entzogen werden, und ab zurück auf die Schulbank. Augenzwinkern
Rubin Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn man 2 werte für x hat, welchen benutzt man dann, damit man den zugehörigen y wert und z wert rauskriegt?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rubin
und wenn man 2 werte für x hat, welchen benutzt man dann, damit man den zugehörigen y wert und z wert rauskriegt?

Alle zwei benützt man, wenn sie beide zu Lösungen führen... Das ist hier aber - zufälligerweise - nicht der Fall, wie ich oben auch schon geschrieben habe...
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