fast sichere Konvergenz

01.10.2012, 16:29

Gast11022013

fast sichere Konvergenz

Meine Frage:
Mal eine Frage:

Unter $\begin{eqnarray*} X_n\to X\mbox{ fast sicher} \end{eqnarray*}$ versteht man ja:

$\begin{eqnarray*} P\left(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\right)=1 \end{eqnarray*}$

Kann man das für bel. $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ äquivalent auch formulieren als:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}P\left(\left\vert X_m-X\right\vert <\varepsilon ~\forall~ m\geq n\right)=1 \end{eqnarray*}$

?

Meine Ideen:
...

01.10.2012, 19:57

Black

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Nein, das 2. entspricht eher der stochastischen Konvergenz.

Vielleicht wird das klarer wenn du statt dem etwas schwammigen $\begin{eqnarray*} P\left(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\right)=1 \end{eqnarray*}$

schreibst:

$\begin{eqnarray*} P( \{\omega \in \Omega : \lim\limits_{n\to \infty} X_n(\omega)=X(\omega)\})=1 \end{eqnarray*}$

D.h fast sichere Konvergenz heißt nichts anders als punktweise Konvergenz (im Sinne von Funktionen) überall außer einer Nullmenge.

01.10.2012, 20:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Black
Nein, das 2. entspricht eher der stochastischen Konvergenz.

Sicher? Der Allquantor $\begin{eqnarray*} \forall m\geq n \end{eqnarray*}$ verstärkt die Bedingung an die Folge enorm.

01.10.2012, 20:26

Black

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Die Bedingung ist stärker als stochastische Konvergenz, aber die klassischen Gegenbeispiele für $\begin{eqnarray*} X_n \xrightarrow{p} X \Rightarrow X_n \xrightarrow{a.s.} X \end{eqnarray*}$ müssten hier auch funktionieren.

01.10.2012, 21:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Black
aber die klassischen Gegenbeispiele für $\begin{eqnarray*} X_n \xrightarrow{p} X \Rightarrow X_n \xrightarrow{a.s.} X \end{eqnarray*}$ müssten hier auch funktionieren.

Welche denn z.B. ? Dies hier funktioniert zumindest nicht mehr:

Schätzer Erwartungswert

02.10.2012, 12:08

Gast11022013

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Der bisherige Verlauf dieses Threads macht auf mich den Eindruck, als sei die Formulierung tatsächlich äquivalent.

Ich muss gestehen, dass ich mir bei der Formulierung gar keine sehr großen Gedanken gemacht habe, sondern einfach die Definition des Grenzwerts benutzt habe und diese in der Klammer notiert habe.

02.10.2012, 12:11

HAL 9000

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Ich bin da etwas vorsichtiger: Es "könnte sein" - zumindest hab ich noch kein Gegenbeispiel gefunden. Wirklich hineingekniet habe ich mich in einen Beweisversuch aber noch nicht, womöglich ist er gar nicht so schwer. Mal sehen, ob sich Black bald wieder meldet.

26.10.2012, 07:21

mattix

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Ich hänge mich hier einfach mal drauf, da ich ein ganz ähnliches Problem habe, und zwar, ob fast sichere Konvergenz auch als
$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty } | X_n - X| \geq \epsilon) = 0 \end{eqnarray*}$
geschrieben werden kann, wenn das für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Ich bin der Meinung, dass es stimmt, mir aber nicht 100% sicher...?!?

06.11.2012, 11:16

moonylo

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Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Frage:
Mal eine Frage:

Unter $\begin{eqnarray*} X_n\to X\mbox{ fast sicher} \end{eqnarray*}$ versteht man ja:

$\begin{eqnarray*} P\left(\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X\right)=1 \end{eqnarray*}$

Kann man das für bel. $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ äquivalent auch formulieren als:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}P\left(\left\vert X_m-X\right\vert <\varepsilon ~\forall~ m\geq n\right)=1 \end{eqnarray*}$

?
...

$\begin{eqnarray*} X_n \to X \end{eqnarray*}$ fast sicher ist äquivalent zu:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass

$\begin{eqnarray*} P( sup_{m \geq n} | X_m - X | \geq \epsilon ) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Also so weit ich das sehe ist die Aussage nur minimal stärker als du sie aufgeschrieben hast. Aber so kann man sie auf jeden Fall beweisen.

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