Bildmenge

01.10.2012, 17:17

hale

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Bildmenge

Kann mir bitte jemand erklären, wie man auf dieses Ergebnis kommt?
Wir haben leider nur die Lösungen bekommen und keine Erklärung.

Wie man die Bildmenge bei Funktionen mit einer Variable berechnet weiß ich, aber nicht mit zwei Variablen..

f: R x R-> R sei definiert durch f(x,y)= x * y
Berechnen Sie die Bildmengen f({2,3), (4,5)}) und f([-2,3[ x [2,4]).

Die Lösung ist für f({2,3), (4,5)})= {6,20}
und für f([-2,3[ x [2,4])= [-8,12[

01.10.2012, 20:34

Che Netzer

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RE: Bildmenge
Hallo,

wie du das Bild einzelner Punkte bestimmt, ist hoffentlich klar: Du setzt sie einfach alle einzeln ein.
Für Produkte aus Intervallen kann du z.B. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festhalten.
Für $\begin{eqnarray*} x\in\left[-2,3\right[ \end{eqnarray*}$ hast du dann $\begin{eqnarray*} f_x(y):=f(x,y)=xy \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommt hier aus $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ , also ist das Bild von $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ ...?
Und aus dieser von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhältst du dann das Bild von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , indem du noch beachtest, woher $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kommt.

mfg,
Ché Netzer

03.10.2012, 10:21

hale

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ok ,f({2,3), (4,5)})= {6,20} hab ich verstanden: 2 ist mein x und 3 mien y, d.h. ich muss einfach 2*3= 6 berechnen und das selbe mit (4,5).

aber das mit dem Intervall nicht, ich versteh deine Erklärung nicht, sorry

03.10.2012, 11:07

Monoid

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Das intervall ist im Endeffekt ja eine mEnge. Wenn du das Kartesicheprodukt von Mengen kennst, sollte das kein Problem sein.

03.10.2012, 11:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von hale
aber das mit dem Intervall nicht, ich versteh deine Erklärung nicht, sorry

Ich meinte, du solltest als erstes das Bild von $\begin{eqnarray*} f_x\colon[2,4]\to\mathbb R,\,y\mapsto xy \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bestimmen.

03.10.2012, 11:37

hale

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und wie bestimmt man das in abhängigkeit von x?

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03.10.2012, 11:40

Che Netzer

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Behandle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach als feste Zahl.
Z.B. bildet $\begin{eqnarray*} g\colon y\to x+y \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [x,x+1] \end{eqnarray*}$ ab.
Und das Bild von $\begin{eqnarray*} f_x\colon[2,3]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_x(y)=xy \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y\in[2,3] \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 12:01

hale

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dann bildet bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray*} x-> x*y \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} [-2,3] \end{eqnarray*}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [y,y*3] \end{eqnarray*}$ ab.
das Bild von $\begin{eqnarray*} f_{y} : [2,4 \end{eqnarray*}$ ] mit $\begin{eqnarray*} f_{y} = xy \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} [2,12] \end{eqnarray*}$ ,oder?

und
$\begin{eqnarray*} y -> x*y \end{eqnarray*}$ bildet das Intervall $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [x, x*4] \end{eqnarray*}$ ab.
das Bild von $\begin{eqnarray*} f_{x} : [-2,3 \end{eqnarray*}$ ] mit $\begin{eqnarray*} f_{x}= xy \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} x\in [-2,-8] \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

03.10.2012, 12:12

Che Netzer

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Nein, das kann ich nicht ganz nachvollziehen.
Du hast eine Funktion, die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x\cdot y \end{eqnarray*}$ abbildet.
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sei fest.
$\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kommt aus dem Intervall $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ . Was sind jetzt die Grenzen für $\begin{eqnarray*} f_x(y) \end{eqnarray*}$ ?
Welche die obere und welche die untere ist, kann dir zunächst egal sein.

Oder vielleicht erst zum Verständnis:
Wenn du eine Zahl aus $\begin{eqnarray*} \left[-2,3\right[ \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl aus $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ multipliziert, was ist dann die größte und was die kleinste Zahl, die du erhalten kannst?

03.10.2012, 12:14

hale

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Zitat:

Original von Che Netzer

Oder vielleicht erst zum Verständnis:
Wenn du eine Zahl aus $\begin{eqnarray*} \left[-2,3\right[ \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl aus $\begin{eqnarray*} [2,4] \end{eqnarray*}$ multipliziert, was ist dann die größte und was die kleinste Zahl, die du erhalten kannst?

die kleinste zahl ist -8 und die größte 12?!

03.10.2012, 12:19

Che Netzer

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Genau. Und aufgrund der Stetigkeit erwartet man jetzt, dass auch alle Zahlen dazwischen angenommen werden. Der Zwischenwertsatz wurde aber wohl nur für Funktionen einer Variable aufgestellt (oder?), deswegen wollte ich eine Variable festhalten.

03.10.2012, 12:23

hale

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ja wir haben den zwischenwertsatz nur für Funktionen mit einer Variable besprochen..

ok deswegen ist die Bildmenge von $\begin{eqnarray*} f([-2,3[ x [2,4]) \end{eqnarray*}$ = [-8,12[ ?

also muss ich das immer so machen, wenn ich die Bildmenge eines Intervalls angeben muss?

03.10.2012, 12:27

Che Netzer

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Naja, so direkt kannst du das nicht sagen.
Du weißt erst, dass das Minimum des Bildes die Minus Acht und das Supremum die Zwölf ist.
Jetzt müsstest du eine Variable festhalten und dann das Bild bestimmen. Danach überlegen, was das gesamte Bildintervall ist, wenn die festgehaltene Variable auch wieder "frei" wird.

Je nachdem, wie genau ihr vorgehen sollt, zumindest.

03.10.2012, 12:31

hale

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ich denke wir müssen das nicht so genau machen, denn wir haben noch zwei weitere aufgaben gemacht und das wa rauch so, ungefähr

z.b. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x*y \end{eqnarray*}$
Bildmenge $\begin{eqnarray*} f([0,3[ x [2,4])= [0,12[ \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f([0,2[ x [-2,0])=[0,8[ \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 12:42

Che Netzer

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Zitat:

Original von hale
und $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f([0,2[ x [-2,0])=[0,8[ \end{eqnarray*}$

Das müsste eigentlich $\begin{eqnarray*} \left]-2,0\right] \end{eqnarray*}$ sein.

Aber gut, dann ist das wahrscheinlich nur dazu gedacht, es sich irgendwie zu überlegen, nicht zu beweisen.

Für das kartesische Produkt gibt es übrigens das Zeichen \times:
$\begin{eqnarray*} \left[0,2\right[\times[-2,0]\,. \end{eqnarray*}$
Auch \left und \right beachten, sonst etsteht
$\begin{eqnarray*} [0,2[\times[-2,0]\,. \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 12:48

hale

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hmm ja stimmt, aber vielen dank, habs verstanden smile

smile

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