Reihe auf Konvergenz untersuchen

01.10.2012, 20:47

Michi1101

Reihe auf Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,
Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen und komme irgendwie nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^n \frac{2k+3\sqrt{k}+\sqrt[3]{k} }{k^{3}-k } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist die Konvergenz mittels Majorantenkriterium zu zeigen.
Der Zähler wird ja größer, wenn ich anstatt der Wurzel, k nehme. umgeformt erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^n \frac{8}{k^{2}-1 } \end{eqnarray*}$
dann will ich es jetzt irgendwie umformen, damit ich auf eine harmonische Reihe komme, $\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{k=8}^n \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ ist aber wiederum kleiner als meine Majorante.
muss ich jetzt mit vollständiger Induktion zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{k=8}^n \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ größer als meine Ausgangsreihe ist, oder bin ich total auf der falschen Fährte???

01.10.2012, 21:04

Christian_P

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Du hast die Reihe mittels der Majorante nach oben abgeschätzt. Wenn nun deine Majorante, bei der fast alle Glieder größer sind als bei deiner Ausgangsreihe, konvergiert, dann folgt daraus, dass deine Reihe ebenfalls konvergent sein muss.

Über der Summe müsste aber dann eigentlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ stehen. n geht ja gegen Unendlich.

lg

01.10.2012, 21:54

Michi1101

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Hallo Christian_P, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Genau da liegt glaube ich mein Problem: ich kann nicht wirklich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{k=8}^\infty \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ eine Majorante zu der Ausgangsreihe aus der Fragestellung ist, bzw. kann nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^\infty \frac{8}{k^{2}-1 } \end{eqnarray*}$ als Majorante konvergiert.

lg

01.10.2012, 22:04

Christian_P

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Hmm

Also ich würde vorraussetzten, dass die unendliche Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{\alpha} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Das zu beweisen wäre nicht spaßig (sage ich jetzt mal smile

)
Das müsste in der Vorlesung auch schon bewiesen worden sein.

Das mit der Konstanten 8 wäre ja kein Probklem. Vielleicht der Schritt von $\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{k=8}^\infty \frac{1}{k^{2}-1 } \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{k=8}^\infty \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ da würde man ja wieder ein bissle kleiner werden.

PS: Ich glaube ich habs jetzt verstanden. Dein Problem ist dieser Schritt. Da weiß ich jetzt auch keinen Rat.
leider Augenzwinkern

02.10.2012, 10:07

Gastt

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RE: Reihe auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von Michi1101
Meine Ideen:
Meine Idee ist die Konvergenz mittels Majorantenkriterium zu zeigen.
Der Zähler wird ja größer, wenn ich anstatt der Wurzel, k nehme. umgeformt erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^n \frac{8}{k^{2}-1 } \end{eqnarray*}$

Okay,
dann betrachte weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^n \frac{8}{k^{2}-1 }=\sum_{k=8}^n\left(\frac 4{k-1}-\frac 4{k+1}\right)=4\left(\frac 17+\frac 18-\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{15}{14} \end{eqnarray*}$

02.10.2012, 13:09

HAL 9000

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Oder wenn's denn unbedingt die Reihe der reziproken Quadrate als Majorante sein muss: Für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} k^2-1 > \frac{k^2}{2} \end{eqnarray*}$ , somit folgt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=8}^n \frac{8}{k^2-1} < \sum\limits_{k=8}^n \frac{16}{k^2} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 8 \end{eqnarray*}$ . Es darf also bisweilen ruhig etwas grob zugehen bei den Abschätzungen. Augenzwinkern

12.10.2012, 20:22

Michi1101

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So, vielen Dank für die Antworten smile

Danke HAL 9000, habs mit der Abschätzung versucht. Sieht dann ganz gut aus.
Hoffe, ich komm inzukunf selbst auf solche Geistesblitze...
Freude

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