Potenzreihe konvergenzradius Startindex

01.10.2012, 21:12	PMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe konvergenzradius Startindex Hallo, laut meinem Script haben Potenzreihen die Form: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt jedoch z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{n=3}^\infty \sqrt{n-2} (x-2)^n \end{eqnarray}$ habe, entspricht dies ja nicht direkt der Potenzreihen Definition. Indexverschiebung bringt es ja nicht so richtig. Meine Überlegung wäre jetzt, dass diese Indexverschiebung ja eig egal ist, da sie sich ja eigentlich nicht auf die Grenzwertberechnung für das Wurzel/Quotientenkriterium auswirken dürfte. Ist dem auch so?
01.10.2012, 22:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihe konvergenzradius Startindex Hallo, was genau ist denn deine Frage? Der Startindex ist für die Konvergenz einer Potenzreihe jedenfalls egal. (für den Grenzwert der Reihe natürlich nicht) Eine Indexverschiebung kannst du ruhig durchführen, dann verändert sich z.B. dein $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ , weil es mit $\begin{eqnarray} (x-x_0)^{n_0} \end{eqnarray}$ multipliziert wird. Oder du setzt in deinem Beispiel einfach $\begin{eqnarray} a_0=a_1=a_2=0 \end{eqnarray}$ mfg, Ché Netzer
01.10.2012, 23:07	PMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh du hast recht. Mein Post enthält keine korrekte Frage Ich möchte nur alle x rausfinden bei denen die Potenzreihe konvergiert. Sprich als erstes den Konvergenzradius bestimmen und dann mit $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ die Randpunkte auch noch prüfen. Dafür wollte ich nur wissen ob man immer den Startindex ignorieren kann, einfach x_0 ablesen und den konvergenzradius normal mit dem Wurzel/Quotientenkriterium bestimmen kann.
01.10.2012, 23:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Startindex kannst du dabei ignorieren (solange keine negativen Potenzen von $\begin{eqnarray} x-x_0 \end{eqnarray}$ auftreten). Bzw. wähle die Interpretation mit $\begin{eqnarray} a_0=a_1=a_2 \end{eqnarray}$ oder führe eine Indexverschiebung durch, so dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ unter der Wurzel steht und ziehe entsprechend $\begin{eqnarray} (x-2)^2 \end{eqnarray}$ aus der Reihe (Faktoren ändern an Konvergenz ja nichts).
01.10.2012, 23:19	PMath	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, hast du gerade ein Bsp. mit negativen Potenzen parat?
01.10.2012, 23:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{n=-1}^\infty x^n \end{eqnarray}$ konvergiert nicht in $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ , da die Reihe im Nullpunkt nicht definiert ist.
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02.10.2012, 13:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was allerdings auch nicht mehr in die Rubrik "Potenzreihe", sondern allenfalls "Laurentreihe" fällt.
02.10.2012, 13:56	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deswegen hatte ich es auch ausgeschlossen.

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