Zahl kleiner unendlich

01.10.2012, 21:43	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahl kleiner unendlich Meine Frage: Also, gegeben ist die komplexe potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty a_kz^k \end{eqnarray}$ , die für $\begin{eqnarray} z_0\neq 0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} S\in \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a_k\|\|z^k\|\leq S\quad \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Diese folgerung versteh ich nicht so ganz... warum kann $\begin{eqnarray} \|a_k\|\|z^k\| \end{eqnarray}$ nicht unendlich sein?
01.10.2012, 21:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wohl $\begin{eqnarray} \|a_k\|\|z_0^k\| \leq S \end{eqnarray}$ . Da kommen im Grunde 2 Aussagen zusammen: 1. Konvergiert eine Reihe, so ist die zugehörige Folge eine Nullfolge 2. Jeder konvergente Folge ist beschränkt.
01.10.2012, 21:58	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
genau das meinte ich an diese aussagen hatt ich auch schon gedacht, aber gilt Jede konvergente Folge ist beschränkt nicht nur für reelle folgen? weil ich kann ja nicht sagen, ob z.b. $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n=i \end{eqnarray}$ beschränkt ist, weil $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ keine ordnungsrelation hat?
02.10.2012, 15:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da tmo sich nicht mehr meldet: Beschränktheit kann man durchaus auch in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ definieren. Generell ist eine Menge/Folge (in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ oder auch allgemein in normierten oder sogar metrischen (Vektor-)Räumen), wenn es eine Konstante $\begin{eqnarray} M>0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass der Betrag jedes Elements/Folgenglieds kleiner gleich $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist. In deinem Beispiel ist $\begin{eqnarray} \lvert a_n\rvert=\lvert\mathrm i\rvert=1\leq M:=1 \end{eqnarray}$ .
03.10.2012, 10:18	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Che Netzer, das wollt ich wissen.

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