Normalteiler Beweis

04.02.2007, 19:08	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler Beweis Hi! Hat vll. zu folgendem Satz jmd. zufällig eine Beweisidee oder den Beweis an sich? Würde mich interessieren! U Normalteiler in g <=> Für alle x aus G , Für alle u aus U gilt : (x * u * x^1) ist wieder in U <=> Für alle x aus G gilt: x * U ist Teilmenge von U * x vielen Dank im Vorraus! lg
04.02.2007, 20:38	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr denn Normalteiler definiert. Das ist der Ausgangspunkt für den Beweis..
04.02.2007, 21:05	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle x Element G gilt x * U = U * x (Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse)
04.02.2007, 21:17	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist nicht weiter schwer. Aus (1) folgt (2): Sei $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ Normalteiler in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , also für alle $\begin{eqnarray} x\in G \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} xU=Ux \end{eqnarray}$ . Seien weiter $\begin{eqnarray} x\in G, u\in U \end{eqnarray}$ beliebig, aber fest. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} u'\in U \end{eqnarray}$ derart, dass gilt: $\begin{eqnarray} xu=u'x \end{eqnarray}$ . Multiplikation mit $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ von rechts liefert $\begin{eqnarray} xux^{-1} = u' \in U \end{eqnarray}$ . Der Rest lässt sich analog beweisen. Probier's mal. Gruß, therisen
04.02.2007, 21:58	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal großen dankeschön! hmm wie beweis ich denn 2=>3 ?
04.02.2007, 22:12	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} z\in xU \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} z=xu \end{eqnarray}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray} u\in U \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} xux^{-1}\in U \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} u'\in U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} zx^{-1} = xux^{-1} = u' \end{eqnarray}$ . Ein Schritt fehlt noch
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04.02.2007, 22:37	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
von rechts mit x $\begin{eqnarray} z = xu = u'x \end{eqnarray}$ => Beh. ?
04.02.2007, 22:55	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
04.02.2007, 23:22	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
prima jetzt fehlt mir nur noch 3=>1 ... mal schauen hmmm ...
05.02.2007, 13:37	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja $\begin{eqnarray} \forall x \in G : x\cdot U \subseteq U\cdot x \end{eqnarray}$ ist die Beh. Musst du nur noch $\begin{eqnarray} \forall x \in G : U\cdot x \subseteq x\cdot U \end{eqnarray}$ zeigen. (Wegen $\begin{eqnarray} A \subseteq B ~\wedge ~ B \subseteq A ~ \Rightarrow A = B \end{eqnarray}$ )

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