partielle Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit

02.10.2012, 00:21	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit Meine Frage: Hallo Mathematiker! Ich habe mich an folgenden Aufgaben probiert und bitte um Korrektur: 1. Beweisen oder widerlegen Sie: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^2 \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\Rightarrow \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} x_1²+x_2² \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_1 +x_2 > 0 \end{eqnarray}$ 0, für $\begin{eqnarray} x_1+x_2 \leq 0 \end{eqnarray}$ ist an der Stelle x=0 partiell differenzierbar 2. Beweisen oder widerlegen Sie: Die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R³ \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\Rightarrow \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} ln(\|x\|) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ 0, für $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ist an der Stelle x=0 total differenzierbar Meine Ideen: 1. Z.Z: f ist in x= 0 partiell differenzierbar Bew: über DQ: $\begin{eqnarray} \delta_1 f (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f (0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h²+0²-0}{h}=h\Rightarrow 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta_2 f (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f (0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h²-0}{h}=h\Rightarrow 0 \end{eqnarray}$ f ist stetig als Komposition stetiger Funktionen und in x=0 partiell differenzierbar. (wäre also auch stetig partiell differenzierbar) q. e. d. 2. Z.Z: f ist total diffbar in 0 Bew: über DQ (wenn f total diffbar ist, ist f partiell diffbar) $\begin{eqnarray} \delta_1 f (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f (0,0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{ln (\sqrt{h²+0²+0²})-0}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{ln(h)}{h} \Rightarrow \end{eqnarray}$ (L'Hôspital) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{h} }{1} =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \Rightarrow 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta_2 (0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f (0,0)}{h} <br /> = \lim_{h \to 0} \frac{ln (\sqrt{h²})-0}{h}=\lim_{h \to 0}<br /> \frac{ln(h)}{h} \Rightarrow \end{eqnarray}$ (L'Hôspital) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{h} }{1} =\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \Rightarrow 0 \end{eqnarray}$ (delta 3 genauso) lnx ist stetig für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ also ist f stetig partiell diffbar und somit total diffbar q.e.d
02.10.2012, 00:34	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: partielle Differenzierbarkeit und totale Differenzierbarkeit Hallo, bei 1 scheinst du nur $\begin{eqnarray} h>0 \end{eqnarray}$ zu betrachten bzw. $\begin{eqnarray} h\searrow0 \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} h\to0 \end{eqnarray}$ . Und 2. ist auch etwas unsinnig geraten. Überprüfe, ob du l'Hospital überhaupt anwenden musst/kannst. Beachte auch $\begin{eqnarray} \sqrt{h^2}=\lvert h\rvert \end{eqnarray}$ . Überprüfe auch, ob du überhaupt ableiten musst. Und überprüfe auch, ob totale Differenzierbarkeit äquivalent zu partieller Differenzierbarkeit ist. Letztendlich bedeutet stetige partielle Differenzierbarkeit auch nicht, dass eine Funktion stetig und partiell differenzierbar ist, sondern dass die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind. Achte auch auf die Verwendung von Implikationspfeilen. Funktionen werden korrekterweise so angegeben: $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R,\,x\mapsto\begin{cases}x_1^2+x_2^2&\text{für}\ x_1+x_2>0\,,\\0&\text{für}\ x_1+x_2\leq0\,.\end{cases} \end{eqnarray}$ mfg, Ché Netzer
02.10.2012, 08:50	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ich hab das im Formeleditor nicht gefunden deswegen sieht das bei mir so unhübsch aus... zu 1. Die Funktion kann doch gar nicht negativ werden? dann kann ich doch gar nicht von unten kommen? zu 2. die hab ich nochmal überarbeitet: [attach]26063[/attach] aber 1/\|x\| ist nicht stetig in 0 ?
02.10.2012, 09:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.: Die Funktion kann zwar keine negativen Werte annähern, aber wenn man sich auf der $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Achse der Null annähert, muss das nicht nur von oben geschehen. Zu 2.: Was machst du da eigentlich? Du möchtest also zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ total differenzierbar im Nullpunkt ist. Um das zu zeigen, nimmst du an, dass $\begin{eqnarray} \partial_xf \end{eqnarray}$ existiert und versuchst, die Stetigkeit dieser Ableitung zu zeigen. Das tust du, indem du den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}f(\tfrac1k,\tfrac1k,\tfrac1k) \end{eqnarray}$ (falsch) berechnest und behauptet, dass dieser mit dem Wert $\begin{eqnarray} \partial_xf(0,0,0) \end{eqnarray}$ übereinstimmt, den du nie berechnet hast. Habe ich das so richtig interpretiert? 1. Die Existenz und Stetigkeit EINER partiellen Ableitung sagt noch gar nichts aus. 2. Die Existenz des Grenzwertes bei Einsetzen einer einzigen Folge sagt nichts über die Stetigkeit aus. 3. Am Ende lässt du plötzlich $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gegen Null laufen. 4. Deine partielle Ableitung (außerhalb von Null) stimmt nicht. Wenn du $\begin{eqnarray} \partial_1f \end{eqnarray}$ außerhalb des Nullpunktes bestimmen möchtest, leite $\begin{eqnarray} \ln\lvert x\rvert \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ab. Für die partielle Ableitung $\begin{eqnarray} \partial_1f(0,0,0) \end{eqnarray}$ brauchst du den Differentialquotienten.
02.10.2012, 10:46	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, jetzt bin ich irgendwie ganz durcheinander :/ Kannst du mir bei der 2. die korrekte Lösung mal zeigen? nach x1 abgeleitet, ist sie ja dann 1/x1 und die ist nicht stetig in 0 also kann sie nicht total diffbar sein, oder?
02.10.2012, 10:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung stimmt auch nicht. Benutze die Kettenregel. Aber: Ja, die Ableitung ist sicher nicht stetig. Nein, dass sie nicht stetig ist, heißt noch nicht, dass die Funktion nicht total differenzierbar ist. Über die partiellen Ableitungen kannst du die Aufgabe nicht lösen. Aber vielleicht hilft es dir, wenn du versuchst, $\begin{eqnarray} \partial_1f(0,0,0) \end{eqnarray}$ zu bilden.
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