Integration nach Verteilungsfunktion

02.10.2012, 12:06

mathelinealbleistift

Integration nach Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hi! Ich versuche gerade ein Integral zu vereinfachen und bin dabei auf eine Frage gestoßen, die mir Google bisher nicht beantworten konnte.

Ist die folgende Gleichung soweit richtig? Wie gehe ich am Ende mit dem d(z-g(x)) um? Gibt es da irgendwelche Regeln?

Meine Ideen:
Z definieren wir als $\begin{eqnarray*} z+g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int f(z) dF_Z(z)\\ = \int f(z) d P(Z\leq z)\\ = \int f(z) d P(g(x)+ \epsilon\leq z) = \int f(z) d P(\epsilon\leq z-g(x)) = \int f(z) d F_\epsilon (z-g(x)) = \int f(z) f_\epsilon(z-g(x)) d(z-g(x)) \end{eqnarray*}$

02.10.2012, 12:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathelinealbleistift
Z definieren wir als $\begin{eqnarray*} z+g(x) \end{eqnarray*}$

Ich steige schon hier aus: $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist allem Anschein nach eine Zufallsgröße mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Z \end{eqnarray*}$ . Inwiefern kannst du die jetzt derart "definieren"??? unglücklich

02.10.2012, 12:14

mathelinealbleistift

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ähm nee, das ist natürlich n schreibfehler. muss

$\begin{eqnarray*} Z=g(x)+\epsilon \end{eqnarray*}$

heißen. sorry...

02.10.2012, 12:55

HAL 9000

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Ändert nicht das geringste an der Unverständlichkeit. unglücklich

Ok, gehen wir mal anders ran: Was willst du überhaupt nachweisen? Etwa, dass für eine absolutstetige Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_Z \end{eqnarray*}$ und Dichte $\begin{eqnarray*} f_Z \end{eqnarray*}$ folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} E(f(Z)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) ~ \dd F_Z(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z)f_Z(z) ~ \dd z \end{eqnarray*}$

oder wie, oder was? Aber was soll dann dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bedeuten? Fragen über Fragen. verwirrt

02.10.2012, 14:26

mathelinealbleistift

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Ich will dieses Integral vereinfachen, um danach damit weiterarbeiten zu können.

Z ist eine Rekursionsfunktion zusammen mit einem Fehler. Dass $\begin{eqnarray*} dF_Z = f_Zdx \end{eqnarray*}$ gilt, ist mir klar. Nur wenn ich das nun auf mein Problem umschreibe, steht nach dem Einsetzen der Definition von Z und umstellen, dass nach $\begin{eqnarray*} (z-g(x)) \end{eqnarray*}$ integriert werden muss. Könnte man das genauso gut zu

$\begin{eqnarray*} \int f(z) f_\epsilon (z-g(x))d(z-g(x)\\ =\int f(z) f_\epsilon (z-g(x))dz-\int f(z) f_\epsilon (z-g(x)) dg(x) \end{eqnarray*}$

umschreiben? Hm naja, bin mir ziemlich sicher, dass es so nicht geht. Aber gerade wegen solcher Regeln, frag ich hier nach. Gibt es da irgendwelche Regeln, wie man den Ausdruck, nach dem Integriert wird, verändern kann?

02.10.2012, 14:43

HAL 9000

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Sieht so aus, als sprechen wir beide nicht dieselbe mathematische Sprache - ich hab nach wie vor keine Ahnung, was dieses vom Himmel gefallene $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ hier zu suchen hat, sowohl $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat (bisher) keinerlei Bezug zum Problem - ja welchem Problem überhaupt: Wie soll man etwas vereinfachen, wenn man gar keine Details kennt? verwirrt

EDIT:

Zitat:

Original von mathelinealbleistift
Z ist eine Rekursionsfunktion zusammen mit einem Fehler.

Jetzt ahne ich so langsam, was du meinst: $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist der Wert einer Regressionsfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an einer festen (d.h. nichtzufällige) Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ plus einen Regressionsfehler $\begin{eqnarray*} \epsilon. \end{eqnarray*}$

(Sowas gehört klar und deutlich in die Aufgabenstellung, und nicht erst versteckt unter "Meine Ideen" bzw. zwei, drei Posts später mit falscher Bezeichnung.)

Damit ist die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ja nur eine lineare Verschiebung der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , und man verschiebt einfach auch Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ um diesen Verschiebungsbetrag, also $\begin{eqnarray*} z = u+g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^b f(z) ~ \dd F_Z(z) = \int\limits_a^b f(z) ~ \dd F_{g(x)+\epsilon}(z) = \int\limits_{a-g(x)}^{b-g(x)} f(u+g(x)) ~ \dd F_{\epsilon}(u)= \int\limits_{a-g(x)}^{b-g(x)} f(u+g(x)) f_{\epsilon}(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

meinst du sowas? Groß vereinfachend sieht das ja nicht aus.

02.10.2012, 15:53

mathelinealbleistift

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ach mensch, ja klar regression. bin schon bisschen verwirrt durch die ganzen formeln die ich den ganzen tag vor den augen hab. finde es schwierig in worte zu fassen, was mein problem ist...

also deine gleichung find ich super, damit kann ich weiter arbeiten. aber zuerst wäre es super, wenn du mir noch ein bisschen genauer erklärst, genauer gesagt das 2. =

z hast du nun mit einer um g(x) verschobenen variable ersetzt. wieso kann man bei dF das g(x) ganz außen vor lassen? wie kommt man auf die integrationsgrenzen?

mein integral geht von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . wie muss ich die integrationsgrenzen dort verändern?

02.10.2012, 16:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathelinealbleistift
wieso kann man bei dF das g(x) ganz außen vor lassen?

Macht man ja nicht. Ich hatte nur den Zwischenschritt

$\begin{eqnarray*} F_{g(x)+\epsilon}(z) = F_{g(x)+\epsilon}(g(x)+u) = P(g(x)+\epsilon \leq g(x)+u) = P(\epsilon \leq u) = F_{\epsilon}(u) \end{eqnarray*}$

weggelassen - und nunmehr in der Begründung nachgeholt.

Zitat:

Original von mathelinealbleistift
mein integral geht von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ . wie muss ich die integrationsgrenzen dort verändern?

Na in dem Fall bleiben sie, denn wenn man die ganze Achse um einen endlichen Betrag verschiebt, bleibt es ja dennoch die ganze Achse.

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