Mengenabbildung

02.10.2012, 20:35

Ploki

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Mengenabbildung

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} X,Y \neq 0 \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} f : X \Rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a.) Für alle Teilmengen A,B gilt: $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B)= f(A \cap B), \end{eqnarray*}$

b.) Für alle Teilmengen A,B gilt: $\begin{eqnarray*} A \cap B = 0 \Rightarrow f(A) \cap f(B) = 0, \end{eqnarray*}$

c.)f ist injektiv.

Meine Ideen:
Also, muss ich nun von a.) auf b.) schließen und dann von b.) auf c.) und dann von c.) auf a.) oder? In der Vorlesung bezeichnete diese Beweismethode der Prof. als "Ringschluss"

Wenn ja, hab ich keine Ahnung wie ich von a.) nach b.) komm.

Lg Ploki

02.10.2012, 20:54

Che Netzer

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RE: Mengenabbildung
Hallo,

ich schätze, mit der Null meinst du die leere Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ .
Die Richtung $\begin{eqnarray*} a\Rightarrow b \end{eqnarray*}$ ist eigentlich sogar die einfachste.
Wende da einfach die Gleichun aus Aussage a an, um $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B)=\emptyset \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Und, ja, das bezeichnet man als Ringschluss:
a impliziert b, b impliziert c und c impliziert a.
Du könntest aber auch zeigen, dass a und b äquivalent sind und ebenso b und c.
Oder dass a und c äquivalent sind, dass a die Aussage b impliziert und b die Aussage c.
Mal dir z.B. die drei Aussagen als Dreieck auf. Dann musst du die Implikationen zu zeigen, dass du über die Implikationspfeile von jedem Eckpunkt des Dreiecks jeden anderen erreichen kannst.
Der Implikationspfeil ist übrigens $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ und hat in Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ nichts zu suchen. (korrekten Code per MouseOver/Zitat/Kopieren ansehen)

mfg,
Ché Netzer

02.10.2012, 22:18

weisbrot

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RE: Mengenabbildung

Zitat:

Oder dass a und c äquivalent sind, dass a die Aussage b impliziert und b die Aussage c.

macht das mehr sinn als ringschluss? Big Laugh

Big Laugh

02.10.2012, 22:21

Che Netzer

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RE: Mengenabbildung
Nö. Big Laugh

Big Laugh

Aber vielleicht macht es mehr Spaß Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.10.2012, 22:23

weisbrot

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RE: Mengenabbildung
stimmt! daran hab ich garnicht gedacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.10.2012, 22:24

Iorek

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Naja, mMn kann es durchaus Sinn machen. Vielleicht ist die Äquivalenz von a und b in zwei Schritten erledigt, während man für c impliziert a zwei Seiten schreiben müsste. Das hängt also ganz von der Aufgabe ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber gut, das ist jetzt Ploki überlassen, genug Wegvorschläge gibt es ja.

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02.10.2012, 22:28

weisbrot

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@iorek: ich glaube du meinst etwas anderes als ich. aber beim dem, was du meinst hast du natürlich recht. lg

02.10.2012, 22:32

Che Netzer

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In dem konkreten Fall macht es aber tatsächlich keinen Sinn.
Der angesprochene Ringschluss ist
$\begin{eqnarray*} a\Rightarrow b\Rightarrow c\Rightarrow a\dotso\,, \end{eqnarray*}$
die andere Methode
$\begin{eqnarray*} a\Leftrightarrow b\Rightarrow c \Rightarrow a\dotso \end{eqnarray*}$

Aber ja, im allgemeinen muss man nicht immer einen Ringschluss verwenden.
In FunkAna hatten wir z.B. den Satz vom abgeschlossenen Bild, in dem wir vier Aussagen hatten.
Da haben wir folgendes gezeigt:
$\begin{eqnarray*} \rm i\Leftrightarrow ii,\,i\Rightarrow iv,\,iv\Rightarrow iii,\,iii\Rightarrow i\,. \end{eqnarray*}$

02.10.2012, 22:41

weisbrot

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ja, ich meinte einfach, dass in dem ding $\begin{eqnarray*} a\Leftrightarrow b\Rightarrow c \Rightarrow a \end{eqnarray*}$ ein redundanter schluss ist. in allem anderen gesagten, auch in den nicht-ringschlüssen, dagegen nicht. lg edit: falls das nicht klar war verwirrt

verwirrt

03.10.2012, 15:49

Ploki

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Also ich hab mal c nach a versucht.

Also wir wissen f ist injectiv: $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) => x=y<br /> \end{eqnarray*}$
Und wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) = f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Das heißt wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ gilt sowiso immer.

Ich zeige es trotzdem:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \exists x \in A \cap B \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \in B \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(A) \wedge f(x) \in f(B) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f(x) = y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

-----

Nun versuche ich $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ .

Dazu brauche ich nun die Injektivität von f. Aber wie mach ich das?

03.10.2012, 15:54

Che Netzer

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Edit: Naja, das war missverständlich.
Lieber so:
Wenn $\begin{eqnarray*} y\in f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in f(B) \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} x_1\in A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2\in B \end{eqnarray*}$ mit ...

03.10.2012, 16:13

Ploki

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mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) \in f(A) \wedge f(x_2) \in f(B) \end{eqnarray*}$ ?

Und nun? =) kann ich jetzt sagen $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ wegen Injektivität?

03.10.2012, 16:17

Che Netzer

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Noch nicht.
Du hast aber das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nicht beachtet.

03.10.2012, 16:19

Ploki

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$\begin{eqnarray*} y = f(x_1) \in f(A) \wedge y = f(x_2) \in f(B) \end{eqnarray*}$ So vl?

03.10.2012, 16:20

Che Netzer

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Ja, und JETZT folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ .
Insbesondere also ...?

03.10.2012, 16:33

Ploki

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Es folgt, dass $\begin{eqnarray*} y = f(x) \in f(A) \wedge y = f(x) \in f(B) \end{eqnarray*}$

Aber wie komm ich jetz auf $\begin{eqnarray*} y\in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

03.10.2012, 16:35

Che Netzer

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verwirrt

Wir hatten $\begin{eqnarray*} y=f(x_1)\in f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=f(x_2)\in f(B) \end{eqnarray*}$ .
Wo liegen dann also $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ (steht glaube ich weiter oben schon)?
Und was können wir dann in Bezug auf $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ aussagen?

03.10.2012, 16:44

Ploki

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Ja $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Und da wegen Injektivität $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ ist, gilt

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , also liegt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$

Folglich ist $\begin{eqnarray*} y = f(x_1) \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

03.10.2012, 16:48

Che Netzer

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Ja, und damit haben wir schließlich $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B)=f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ .

03.10.2012, 16:50

Ploki

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Danke erstmals, vl meld ich mich bezüglich a.) --> b.) und b.) --> c.) nochmal.

Einen schönen Abend wünsche ich!

Lg Ploki

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