Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung |
| 12.07.2004, 20:43 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung Ich kämpfe hier geade mit oben genannten Diff.gl. Da ich das Thema in der Vorlesung verpasst hab habe ich jetzt hier arge Probleme auf Lösungen zu kommen. In den Mitschriften von Komilitonen fehlen mir ein paar Hinweise und in Büchern finde ich auch keinen Rat. Also ich habe eine Gleichung der Form y'' + Py' + Qy = 0 Daraus wurde dann eine Charakteristische Gleichung vom Typ r^2 + Pr + Q = 0 gewonnen und diese Gelöst. Löst man mittels der PQ Formel steht unter der Wurzel die Diskriminante D. Für D > 0 erhalte ich die Lösung y_homogen = Das ist mir soweit klar, r1 und r2 sind ja scheinbar die reellen Nullstellen. D < 0 : y_homogen = Jetzt weiss ich nur nicht so genau was ich dort einsetzen muss..Was z.B. ist Beta? d scheint ja die Diskriminate selbst zu sein Für D = 0 erhalte ich die Lösung y_homogen = Was ist jetzt t ??? Ich hab jetzt einfach das Problem, dass ich nicht so genau weiß was ich für die Fälle D<0 und D=0 in die Lösungsterme einsetzen muss. Weiß da jemand weiter?? Oli |
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| 12.07.2004, 21:52 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Oli (1) 2 reelle Nst. Dann ist' so wie von Dir beschrieben (2) eine komplexe Nst. beta ist der Imaginärteil d der Realteil (3) eine doppelte Nullstelle Lsg Zum nachschauen in Büchern oder nem besseren Tafelwerk es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gruß mathemaduenn |
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| 13.07.2004, 13:23 | tuxracer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Hilfe! Genau die Informationen haben mir gefehlt...jetzt hab ich mal ein paar Aufgaben gelöst und bin recht zufrieden. Zum nächsten Problem komme ich allerdings wenn ich mich mit inhomogenen Gleichungen befasse die auch eine Resonanz besitzen.. Ich habe also z.B. y'' + 2y' + 4y = 2e^(-x) Wenn ich das homogene System jetzt löse komme ich ja auf y_homogen = e^(-x) [a cos ...] damit hab ich also eine Resonanz, weil e^(-x) als Term links und rechts vorkommt. Wie finde ich jetzt meinen Lösungsansatz für die Störfunktion? Wenn ich mir die Mitschriften hier ansehe komme ich zu dem Entschluss, dass der Resonazterm mein Ansatz wird..Also in diesem Fall würde ich y_st = Ce^(-x) benutzen...Wenn ich einen Sin oder Cos Resonanzterm habe löse ich mit y_st = C1 sin ... + C1 cos ... Ist das so Allgemeingültig, oder hat sich das nur so ergeben und ich übersehe noch was? Oli |
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| 13.07.2004, 21:51 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo turaxer Bei (k-facher)Resonanz muß man den normalen Ansatz mit x (x^k) durchmultiplizieren. hier wärs eine einfache Nst. damit Ansatz C*x*e^-x gruß mathemaduenn |
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