nach Exponent auflösen

03.10.2012, 12:10

Magnus87

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nach Exponent auflösen

hallo ich wollte wissen, ob meine umformung korrekt ist:

folgende aufgabe

$\begin{eqnarray*} (\frac{\sqrt[3]{x^{4} } }{x\cdot \sqrt[5]{x^{2} } })^3=x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_x(\frac{\sqrt[3]{x^{4} } }{x\cdot \sqrt[5]{x^{2} } })^3=z \end{eqnarray*}$

meine Frage:
kann ich das überhaupt mit einer unbekannten logarithmieren? ich hab nebenbei von einem Basenwechsel oder sowas gehört. wie lautet die regel dafür und kann ich die hier anwenden ? bzw ist es sinnvoll?

03.10.2012, 12:19

Monoid

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RE: nach Exponent auflösen
Ja, ist richtig. Aber das ist eine triviale Antwort, die direkt aus der Definition folgt.

03.10.2012, 17:49

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
was meinst du mit trivial?

also meinst du ich kann weiter umformen?

03.10.2012, 18:26

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
ah ich habe noch eine idee:

umformung folgt in einigen Minuten.

$\begin{eqnarray*} (\frac{\sqrt[3]{x^{4} } }{x\cdot \sqrt[5]{x^{2} } })^3=x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-1} x^{\frac{2}{5} } x^{\frac{2}{5} } x^{\frac{2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{9\cdot 5}{3\cdot 5} } x^{\frac{6\cdot 3}{5\cdot 3} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{45}{15} } x^{\frac{18}{15} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{15}{5} } x^{\frac{6}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{21}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 18:41

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
so was kann ich jz nun für einen basenwechsel machen? oder lässt es sich nicht lösen?

03.10.2012, 18:50

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{21}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

DAS kann man durch HINGUCKEN lösen ...

(Habe Deine komplette Umformung nicht nachgerechnet.)

LG Mathe-Maus

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03.10.2012, 18:55

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
können wir basenwechsel dann auch machen?

ich probiers nun erstmal per hingucken.

03.10.2012, 18:57

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
also wenn die basis gleich ist ist auch der exponent gleich?, weil es nur eine lösung geben kann?

03.10.2012, 19:03

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
1) Deine Umformung ist nicht ganz richtig, mache es in kleineren Schritten .. Du kannst es im Prinzip.

2) Lösung durch Hingucken: Was würdest Du sehen bei

$\begin{eqnarray*} x^2 = x^z \end{eqnarray*}$

3) Ansonsten : Beide Seiten logarithmieren, z. mit lg.

Nachtrag:
Nutze dann das Logaritmengesetz

$\begin{eqnarray*} log_a{u}^r= r\cdot log_a{u} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} lg{u}^r= r\cdot lg{u} \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 19:07

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{2}{5} } x^{\frac{2}{5} } x^{\frac{2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{11}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

also ist z= 11/5

ok super danke Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

machen wir es nun mit basenwechseel? wie lautet das gesetz dazu ich kann das nicht so unterscheiden.

03.10.2012, 19:15

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
Du hast die Potenz im Nenner vergessen! Deine Umformung ist falsch unglücklich

unglücklich

Gehe besser so vor:

Beispiel für ZÄHLER

$\begin{eqnarray*} (\sqrt[3]{x^4})^3= (x^{\frac{4}{3} })^3 = x^{\frac{4}{3}\cdot 3 } = x^4 \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 21:24

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{-1}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es stimmen.
--------------------------------------
anwendung des gesetzes:
Nachtrag:
Nutze dann das Logaritmengesetz

$\begin{eqnarray*} log_a{u}^r= r\cdot log_a{u} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} lg{u}^r= r\cdot lg{u} \end{eqnarray*}$
-----------------------------

sähre dann so aus:

$\begin{eqnarray*} -0,25 log(x)=z \end{eqnarray*}$

geht es noch weiter ? Big Laugh

Big Laugh

03.10.2012, 21:29

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
Ich habe ein anderes Vorzeichen beim Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$
a) DAS hast Du doch nicht ernst gemeint ?
b) Rechnest Du wirklich so ?

LG Mathe-Maus

03.10.2012, 21:36

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
ach msit ich hab das vorzeichen sogar auf dem papier stehen gehabt aber ich hab noch schwierigkeiten mit latex.

a) warum die Frage? smile

smile

ist es falsch?

b) nicht immer

ist nun alles korrekt oder könnten wir noch umformen?

03.10.2012, 21:37

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
Nehmen wir an: (Wie gesagt, mein Ergebnis ist etwas anders.)

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

Beide Seiten logaritmieren.

$\begin{eqnarray*} lgx^\frac{1}{5}= lg x^z \end{eqnarray*}$

Anwenden von

$\begin{eqnarray*} lg{u}^r= r\cdot lg{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\cdot lgx = z\cdot lgx \end{eqnarray*}$

.. und nun durch lgx dividieren ....

LG Mathe-Maus

03.10.2012, 21:41

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

DAS ist für diese Aufgabe falsch.
Für den ZÄHLER hate ich es Dir vorgemacht !

03.10.2012, 21:42

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
ach mist mein fehler war das ich das eine x nicht wegnehmen konnte.

das darf ich nur wenn wenn die basis mit dem logarithmus der gleichen basis logarithmiert wird oder?

ich darf einfach so durch den ln teilen? achso danke smile

smile

03.10.2012, 21:45

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen

Zitat:

Original von Mathe-Maus
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

DAS ist für diese Aufgabe falsch.
Für den ZÄHLER hate ich es Dir vorgemacht !

vielleicht steh ich heute gerade auf dem schlauch, welches gesetz verletze ich denn gerade. tut mir leid wenn ich dich gerade kirre mache.

03.10.2012, 21:46

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
Wenn keine Basis für´s Logarithmieren vorgegeben ist, darfst Du Dir diese aussuchen (sollte idealerweise auf beiden Seiten gleich sein Big Laugh

Big Laugh

).

Und ja, Du darfst durch einen beliebigen Term teilen, aber bitte dann auf BEIDEN Seiten !

Wenn Du Lust hast, können wir noch den NENNER gemeinsam berechnen, damit Dein Ergebnis stimmt. (Siehe auch nochmal meine Berechnung des ZÄHLERS.)

LG Mathe-Maus

03.10.2012, 21:48

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen

Zitat:

Original von Magnus87

Zitat:

Original von Mathe-Maus
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{\frac{4}{3} }x^{-3} x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } x^{\frac{-2}{5} } =x^{z} \end{eqnarray*}$

DAS ist für diese Aufgabe falsch.
Für den ZÄHLER hate ich es Dir vorgemacht !

vielleicht steh ich heute gerade auf dem schlauch, welches gesetz verletze ich denn gerade. tut mir leid wenn ich dich gerade kirre mache.

Du vergisst teilweise die Potenz. geschockt

geschockt

Kirre machen, DAS schaffst Du nicht Big Laugh

Big Laugh

LG Mathe-Maus

03.10.2012, 21:59

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
ich bin grad voll durch den wind weil ich meinen fehler nicht mehr sehe Augenzwinkern

Augenzwinkern

also jedenfalls kriege ich

als exponent auf de rlinken seite -1/5 raus.

edit: ja gern dann lass uns das mal rechnen liebchen Big Laugh

Big Laugh

03.10.2012, 22:03

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
JA, ich hab auch -1/5 raus.

Ich glaube, Du machst es Dir mit Deiner Rechenweise sehr, sehr schwer ... und fehlerträchtig.

Hast Du Dir meine Berecnung des ZÄHLERS mal angeschaut ? Wenige Rechenoperationen, einfacher Weg.

LG Mathe-Maus

Nachtrag: Okay, rechnen wir den Zähler auf eine andere Art und Weise ... Moment bitte noch ...

03.10.2012, 22:06

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
okay.
danke, dass du dir die zeit nimmst. :*

03.10.2012, 22:10

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
na gut ich versuche demnächst etwas einfache zu rechnen (mit den Klammern)

03.10.2012, 22:14

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
Berechnung NENNER:

$\begin{eqnarray*} (x\cdot \sqrt[5]{x^2})^3 = (x\cdot x^\frac{2}{5})^3 = (x^\frac{5}{5} \cdot x^{\frac{2}{5} )^3 = (x^\frac{5}{5}+ \frac{2}{5}} )^3 = (x^\frac{7}{5} )^3 \end{eqnarray*}$

Bis dahin klar ? Wenn Fragen, gleich stellen.

03.10.2012, 22:35

Magnus87

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RE: nach Exponent auflösen
jup ist ok danke

03.10.2012, 22:58

Mathe-Maus

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RE: nach Exponent auflösen
$\begin{eqnarray*} (x^\frac{7}{5})^3= x^{\frac{7}{5}\cdot 3} = x^\frac{21}{5} \end{eqnarray*}$

ZÄHLER ist $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$

NENNER ist $\begin{eqnarray*} x^\frac{21}{5} \end{eqnarray*}$

Der Term lautet also
$\begin{eqnarray*} \frac{x^4}{x^\frac{21}{5} } = x^{4-\frac{21}{5} }= x^{\frac{20}{5}-\frac{21}{5} } = x^{-\frac{1}{5} } \end{eqnarray*}$

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