Grenzwert einer Folge mit fünfter Wurzel

03.10.2012, 12:57

hcl734

Grenzwert einer Folge mit fünfter Wurzel

Meine Frage:
Der Grenzwert einer Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=n (1-\sqrt[5]{1- \frac{1}{n}}) \end{eqnarray*}$

soll 1/5 sein.

Meine Ideen:
Wenn da eine Quadratwurzel stehen würde wäre das ja kein Problem (dritte binomische Formel...) aber so komme ich nicht auf die richtige Lösung.

03.10.2012, 13:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von hcl734
Wenn da eine Quadratwurzel stehen würde wäre das ja kein Problem (dritte binomische Formel...)

So ähnlich geht es auch für höhere Wurzeln:

Du kennst doch sicher die für alle $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ gültige Partialsummenformel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{m-1} q^k = \frac{1-q^m}{1-q} \end{eqnarray*}$

der geometrischen Reihe? Die kannst du hier für $\begin{eqnarray*} m=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[5]{1-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ anwenden.

03.10.2012, 13:39

Mystic

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RE: Grenzwert einer Folge mit fünfter Wurzel
Oder du schreibst $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\sqrt[5]{1-\frac 1n}-1}{(1-\frac 1n )-1} \end{eqnarray*}$

und interpretierst das als Differenzenquotient für eine geeignete Funktion f(x) an der Stelle x=1... Augenzwinkern

03.10.2012, 15:02

hcl734

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Nein die kannte ich noch nicht.

Werde mich aber bei Gelegenheit mal damit vertraut machen.

Danke für deinen Ansatz.

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