Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten umrechnen

03.10.2012, 16:41

Kampi

Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten umrechnen

Hallo zusammen,

ich habe diese Funktionsgleichung in der Polarform und soll sie in die kartesische Form überführen

$\begin{eqnarray*} r = 3(cos(\varphi)+1) \end{eqnarray*}$

Mein erster Ansatz war "r" zu ersetzen

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{x^2+y^2} = 3(cos(\varphi)+1) \end{eqnarray*}$

Anschließend quadriere ich alles um die Wurzel wegzubekommen

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = 9(cos(\varphi)+1)^2 \end{eqnarray*}$

und dann bringe ich alles auf eine Seite

$\begin{eqnarray*} 0 = 9(cos(\varphi)+1)^2-(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

So und nun weiß ich nicht mehr so richtig weiter.....
Es muss ja noch der Winkel weg und da habe ich gedacht, dass ich für diesen auch

$\begin{eqnarray*} 0 = 9((x/r)+1)^2-(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

schreiben kann und für "r" dann wieder

$\begin{eqnarray*} 0 = 9((x/\sqrt[2]{x^2+y^2})+1)^2-(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig oder habe ich da einen Fehler gemacht?
Weil laut Lösung soll

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2-3x)^2-9(x^2+y^2)=0 \end{eqnarray*}$

raus kommen.
Nur ich weiß nicht wie es weitergehen soll.
Kann mir da jemand helfen?
Danke schon mal!

03.10.2012, 16:51

Monoid

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten umrechnen
Da der winkel unbekannt ist, kommst du auch nciht viel weiter als dahin, wo du schreibst "So, und nun weiß ich nicht mehr so richtig weiter".

03.10.2012, 16:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisschen umständlich vorgegangen. Die Originalgleichung mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} r^2 = 3(r\cos(\varphi)+r) = 3x+3r \end{eqnarray*}$

links dann noch $\begin{eqnarray*} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, dann $\begin{eqnarray*} -3x \end{eqnarray*}$ und anschließend erst quadriert führt zu

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2-3x)^2 = (3r)^2 = 9(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 17:04

Kampi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Bisschen umständlich vorgegangen. Die Originalgleichung mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} r^2 = 3(r\cos(\varphi)+r) = 3x+3r \end{eqnarray*}$

links dann noch $\begin{eqnarray*} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, dann $\begin{eqnarray*} -3x \end{eqnarray*}$ und anschließend erst quadriert führt zu

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2-3x)^2 = (3r)^2 = 9(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Hey

super dank dir!
Das heißt ich habe die Aufgabe ja ganz falsch angegangen oder wie siehst du das?

03.10.2012, 17:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig überblicke, ist auch deine Darstellung richtig - mit einer kleinen Ausnahme: Der für $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi \end{eqnarray*}$ erreichte Nullpunkt $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ liegt außerhalb des Definitionsbereiches deiner Gleichung - was sich aber durch

$\begin{eqnarray*} 0 = 9(x+\sqrt{x^2+y^2})^2-(x^2+y^2)^2 \end{eqnarray*}$

reparieren lässt.

03.10.2012, 17:12

Kampi

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das bischen genauer erklären?
Ich blicke da nicht so recht durch. verwirrt

03.10.2012, 17:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab einfach nur dein

$\begin{eqnarray*} 0 = 9((x/\sqrt[2]{x^2+y^2})+1)^2-(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = (\sqrt{x^2+y^2})^2 \end{eqnarray*}$ multipliziert.

03.10.2012, 17:30

Kampi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich schau es mir gleich mal an smile

Ich probiere jetzt gerade eine Aufgabe wo ich von karthesisch in polar umrechnen muss und hab an einer Stelle nun

$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(\varphi) + \cos^{2}(\varphi) \end{eqnarray*}$

stehen.
Kann ich das durch ein

$\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$

ersetzen?
Weil auf der anderen Seite steht

$\begin{eqnarray*} 2\sin(\varphi) cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

und das ist ja dann

$\begin{eqnarray*} \sin(2\varphi) \end{eqnarray*}$

03.10.2012, 18:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kampi
$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(\varphi) + \cos^{2}(\varphi) \end{eqnarray*}$

stehen.
Kann ich das durch ein

$\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$

Du meinst "durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ " statt "durch $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ " !!!

03.10.2012, 19:12

Kampi

Auf diesen Beitrag antworten »

mmmh ne dann steckt woanders der Fehler drin.
Diesmal geht es um die Aufgabe hier:

$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2)^2-2xy \end{eqnarray*}$

Ich habe es bis jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} (r^2\sin^2(\varphi) + r^2\cos^2(\varphi))^2 = 2r^2\sin(\varphi)cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

Und dann

$\begin{eqnarray*} r^2(\sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi))^2 = r^2\sin(2\varphi) \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts jetzt weiter?
Rauskommen soll

$\begin{eqnarray*} r^2 = \sin(2\varphi) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich durch $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ teile habe ich ja keins mehr und $\begin{eqnarray*} \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi))^2 \end{eqnarray*}$ kann ich ja dann durch 1 ersetzen.

03.10.2012, 21:30

Kampi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh hab den Fehler gefunden smile

Neue Frage »

Antworten »

Polarkoordinaten => Kartesische Koordinaten umrechnen

Verwandte Themen