Gaußsche Zahlenebene : |z|? |z-i| +1

03.10.2012, 19:27	Betzialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußsche Zahlenebene : \|z\|? \|z-i\| +1 Meine Frage: Sei z eine komplexe Zahl. Zeichne alle z in die Gaußsche Zahlenebene, die folgende Ungleichung erfüllen: $\begin{eqnarray} <br /> \| z \| \leq \| z-i \| +1 \\<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also sei z = x + iy. Dann $\begin{eqnarray} <br /> \| x + iy \| \leq \| x+iy-i \| +1 \\<br /> \| x + iy \| \leq \| x+i(y-1) \| +1 \\<br /> \sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt{x^2+(y-1)^2} + 1 \\<br /> x^2 +y^2 \leq x^2 + (y-1)^2 + 2\sqrt{x^2+(y-1)^2} +1 \\<br /> x^2 +y^2 \leq x^2 + y^2 -2y +2+ 2\sqrt{x^2+(y-1)^2} \\<br /> 2(y-1) \leq 2\sqrt{x^2+(y-1)^2} \\<br /> (y-1)^2 \leq x^2 + (y-1)^2 \\<br /> 0\leq x^2 \<br /> \end{eqnarray}$ Das Ende würde dann bedeuten, dass diese Ungleichung für alle komplexen Zahlen gilt. Stimmt dieser Lösungsweg oder gibt es da einen Haken? Kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass alle komplexen Zahlen diese Ungleichung erfüllen.
03.10.2012, 19:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gaußsche Zahlenebene : \|z\|? \|z-i\| +1 Hallo, oder einfach die Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert=\lvert z-\mathrm i+\mathrm i\rvert\leq\lvert z-\mathrm i\rvert+\lvert\mathrm i\rvert=\lvert z-\mathrm i\rvert+1\,. \end{eqnarray}$ Ja, das gilt für alle komplexen Zahlen. Du müsstest höchstens noch erläutern, wieso du in deiner Rechnung unten quadrieren darfst. mfg, Ché Netzer
03.10.2012, 19:47	Betzialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, die Dreiecksungleichung ist hier natürlich wertvoll. Zur Erläuterung meiner Schritte: Hier ist doch das Vorzeichen bestimmt entscheidend. Wie begründe ich das?
03.10.2012, 19:50	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} y-1 \end{eqnarray}$ nichtnegativ ist, ist das alles äquivalent. Für $\begin{eqnarray} y-1<0 \end{eqnarray}$ wird die Lösungsmenge höchstens kleiner (selbst überlegen). Und da man am Ende eh ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ als Lösung hat, braucht man sich nicht darum zu kümmern, dass Lösungen verloren gegangen sind.

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