Scheitelpunktform

03.10.2012, 20:15	KeineIdee	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheitelpunktform Meine Frage: Guten Abend liebe Matheboardler, Ich bin derzeit in der elften Klasse und habe (wegen meines Schwerpunktes) Wirtschaftsmathematik. Wir rechnen mit ökonomischen Aufgaben und dort wird nun auch vieles wiederholt. Nun soll ich folgende Funktion in die Scheitelpunktform umrechnen. (Dient der Vorereitung auf die anstehende Klausur am Freitag): -1/4x^2 + 7/4x -2 Habe auch das Ergebnis von meiner Lehrerin bekommen: G(x)= -1/4x(x-7/2)^2 +17/16 (--> Ich hoffe, das ist einigermaßen verständlich aufgeschrieben) Doch wie kommt man darauf? Dass ich dann von der Funktion die Scheitelpunktform ablesen kann (7/2 / 17/16) ist mir klar. Aber die Scheitelpunktform habe ich nie verstanden. Kann mir das kurz jemand erläutern? Liebe Grüße Meine Ideen: alles oben
03.10.2012, 20:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das ganze zu verstehen ist es hilfreich, mit der Scheitelpunktsform $\begin{eqnarray} -\frac 14 \left(x-\frac 72\right)^2 + \frac{17}{16} \end{eqnarray}$ zu beginnen und diese unter Anwendung der binomischen Formel in die Normalform zu bringen. Das ganze rückwärts durchgeführt ist dann der Weg, um die Scheitelpunktsform zu ermitteln.
03.10.2012, 20:21	Sherlock Holmes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Scheitelpunktform Hallo, die allgemeine Normalform von einer Parabel ist doch $\begin{eqnarray} \rm y= x²+px+q \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \rm y=ax²+bx+c \end{eqnarray}$ . Da du aber bei dieser Gleichung nicht alles erkennen kannst. Ob die Parabel gestaucht, gestreckt und wo verschoben wurde. Deswegen ist es manchmal nötig die Scheitelpunktform zu machen. Damit man die Scheitelpunktform gerecht wird, muss man in der Rechnung eine Quadratische Ergänzung machen. Wenn du das gemacht hast, dann kannst du alles erkennen, wo und wie die Parabel verschoben wurde und wie sie auch aussieht. Die Quadratische Ergänzung wird stets mit $\begin{eqnarray} \rm +\left(\frac{b}{2} \right)^2-\left(\frac{b}{2} \right)^2 \end{eqnarray}$ ergänzt. So du hast nun diese Quadratische Gleichung vorliegen: $\begin{eqnarray} \rm f(x)=-\frac{1}{4}x^2 + \frac{7}{4}x -2 \end{eqnarray}$ So jetzt muss diese Form in diese Umformen: $\begin{eqnarray} \rm y= a(x-d)²+e \end{eqnarray}$ Hast du irgendeine Idee wie man beginnen würde? Gruß Sherlock Edit: Deiner Helferlein.
03.10.2012, 20:30	KeineIdee	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\frac 14 \left(x-\frac 72\right)^2 + \frac{17}{16} \end{eqnarray}$ Wenn ich diese binomische Formel auflöse, würde ich folgendes erhalten: -1/4x^2 * x^2 -7/2x -7/2x +x^2 Die Formeln sind so sehr schwer zu verstehen denke ich. Ich weiß einfach gar nicht, wie ich von dieser Form auf die Scheitelpunktform komme. Der Ansatz fehlt mir. :S
03.10.2012, 20:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch, da scheint ja noch einiges im argen zu liegen. Machen wir den Anfang also mal gemeinsam. Die 2.Binomische Formel lautet $\begin{eqnarray} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray}$ Wir haben $\begin{eqnarray} -\frac 14 \left(x-\frac 72\right)^2 + \frac{17}{16} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} a=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\frac 72 \end{eqnarray}$ . Setze das erst einmal ein und multipliziere danach die Lösung mit $\begin{eqnarray} -\frac 14 \end{eqnarray}$ .
03.10.2012, 20:40	KeineIdee	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eigentlich haben wir ja erst -1/4x^2 + 7/4x -2 Das Ergebnis davon soll ja irgendwie -1/4(x-7/2)^2 + 17/16 sein. Meine Frage ist ja, wie ich von der ersten Gleichung zu der zweiten komme.
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03.10.2012, 20:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich habe Dir oben gesagt, wie Du es am besten verstehen kannst: Beim Ergebnis anfangen und dann zum gegebenen Term durchrechnen. Sonst ist es schwerer die Schritte nachzuvollziehen. Ich rechne es Dir einmal an einem anderen Beispiel vor: $\begin{eqnarray} y=2x²-4x+5 \end{eqnarray}$ soll in Scheitelpunktsform gebrecht werden. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray} y=2(x-1)²+3 \end{eqnarray}$ , denn es ist $\begin{eqnarray} 2(x-1)²+3=2(x²-2x+1)+3=2x²-4x+2+3=2x²-4x+5=y \end{eqnarray}$

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