Wahrscheinlichkeit (kumulativ?)

04.10.2012, 10:24

Chucky00001

Wahrscheinlichkeit (kumulativ?)

Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde,

ich möchte vorab sagen, dass sich mein mathematisches Wissen nur auf Abitur-Niveau befindet und dass ich glaube, dass die Formel die ich hier suche darüber hinaus geht.
Im Folgenden beschreibe ich ein Spiel. Ich möchte gerne wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist dieses Spiel zu gewinnen.

Spielregeln:
Ich habe einen Kartenstapel mit 60 Karten. 4 dieser Karten sind Asse, 56 sind Buben.
Das Spiel endet sobald ich ein Ass gezogen habe oder wenn ich nach 3 Runden KEIN Ass gezogen habe.
In der ersten Runde ziehe ich 7 Karten (von 60). Wenn ich in der ersten Runde nicht gewonnen habe, werden die gezogenen 7 Karten in den Kartenstapel gemischt. Wenn ich ein oder mehrere Asse gezogen habe, endet das Spiel und ich gewinne.
In der zweiten Runde ziehe ich 6 Karten (von 60). Wenn ich hier wieder kein Ass gezogen habe, werden die gezogenen 6 Karten in den Kartenstapel gemischt. Wenn ich ein oder mehrere Asse gezogen habe, endet das Spiel und ich gewinne.
In der dritten und letzten Runde ziehe ich 5 Karten (von 60). Wenn ich hierbei kein Ass gezogen habe verliere ich das Spiel. Wenn ich ein oder mehrere Asse gezogen habe, endet das Spiel und ich gewinne.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeut, dass ich gewinne?

Meine Ideen:
Die Wahrscheinlichkeit ein Ass zu ziehen habe ich mit dieser Formel berechnet:

Anzahl Asse: x
Anzahl Karten im Kartenstapel: n

In der ersten Runde:
x/n+x/(n-1)+x/(n-2)+x/(n-3)+x/(n-4)+x/(n-5)+x/(n-6)+x/(n-7)
=0,5673 oder 56,73%

In der zweiten Runde:
x/n+x/(n-1)+x/(n-2)+x/(n-3)+x/(n-4)+x/(n-5)+x/(n-6)
=0,4918 oder 49,18%

In der dritten Runde:
x/n+x/(n-1)+x/(n-2)+x/(n-3)+x/(n-4)+x/(n-5)
=0,4177 oder 41,77%

Meine Intuition sagt mir, dass ich NICHT den richtigen Wert erhalte wenn ich die drei errechneten Wahrscheinlichkeiten addiere. Dieser Wert läge über 100% und kann somit nicht richtig sein.

Kann mir jemand die korrekte Formel geben, damit ich das Ergebnis ggf. selbst berechnen kann? Wahlweise: wenn dieser Jemand vermutet dass die Formel mein Verständnis übersteigen könnte, wäre ich auch "nur" mit dem richtigen Ergebnis zufrieden =)

Vielen Dank im Voraus!

Edit opi: doppelten Text entfernt.

04.10.2012, 11:06

Mazze

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Zitat:

Meine Intuition sagt mir, dass ich NICHT den richtigen Wert erhalte wenn ich die drei errechneten Wahrscheinlichkeiten addiere. Dieser Wert läge über 100% und kann somit nicht richtig sein.

Richtig, Du kannst nicht einfach irgendwelche Wahrscheinlichkeiten addieren ohne zu wissen was Du tust. Entsprechendes gilt natürlich auch für deine Berechnungen der einzelnen Ziehungen.

Zitat:

wenn dieser Jemand vermutet dass die Formel mein Verständnis übersteigen könnte, wäre ich auch "nur" mit dem richtigen Ergebnis zufrieden =)

Ich denke durchaus dass ein Schüler mit dem Problem fertig werden kann. Wenn man $\begin{eqnarray*} n \leq 60 \end{eqnarray*}$ Karten zieht muss man sich ja nur überlegen wieviel Ereignisse es gibt so dass mindestens 1 Ass vorliegt und wieviel Möglichkeiten es überhaupt gibt n Karten zu ziehen. Das sind Grundlagen der Kombinatorik. Du musst Dir nur überlegen :

Was bedeutet "mindestens 1 Ass" ?
Wie zählt man die Ereignisse (siehe Urnenmodell)?
Wie bekomme ich daraus die Einzelwahrscheinlichkeiten?
Wie setzt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit aus den Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen?

04.10.2012, 12:09

Chucky00001

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Was bedeutet "mindestens 1 Ass"?
Das bedeutet mMn Folgendes:
B=Bube
A=Ass

Ich kann in der ersten Runde (7 Karten) eine der folgenden Kombinationen ziehen:

(1) AAAABBB
(2) AAABBBB
(3) AABBBBB
(4) ABBBBBB
(5) BBBBBBB

Dabei habe ich aber nicht berücksichtigt, dass...
...(5) viel wahrscheinlicher ist als (1)
...(1) bis (4) noch jede beliebe Platzierung von As haben kann. z.B. gibt es bei (4) noch die Möglichkeiten:
(4') BABBBBB
(4'') BBABBBB
(4''') BBBABBB
(4'''') BBBBABB
(4''''') BBBBBAB
(4'''''') BBBBBBA

Ich habe leider keine Ahnung wie man diese beiden Faktoren berücksichtigt. Die Grundlagen der Kombinatorik kenne ich ebenfalls nicht, da wir dieses Thema nie behandelt haben. Tatsächlich habe ich den Begriff "Kombinatorik" gestern bend zum ersten Mal gehört.

Wie zählt man die Ereignisse (siehe Urnenmodell)?
Ich habe mir den Eintrag zum Urnenmodell auf Wikipedia durchgelesen. Außerdem habe ich einen Thread in diesem Forum der meinem Problem sehr nahe kommt. Ich bin bei beiden allerdings über die folgenden beiden Punkte gestolpert:
(1) In den Beschreibungen wird jeweils eine gleichbleibende Menge an Karten gezogen. (also 5 Kugeln bei der ersten Ziehung. Dann 5 Kugeln bei der zweiten Ziehung etc.)
(2) Für die Berechnung scheint es wichtig zu sein dass man weiß wie man das "!" hinter den Zahlen (hier hinter 5, 4 und 1) behandeln muss. Quote aus dem Thread:

Zitat:

Für 4 Blaue Kugeln:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^{5} * \frac{5!}{4!*1!}= \frac{5}{32} \end{eqnarray*}$

Dieses Rechen-Zeichen ist mir unbekannt und eine Google-Suche nach "!" bzw. "! Mathematik" bzw. "! Kombinatorik" war leide rnicht sehr ergiebig.

Die Fragen
Wie bekomme ich daraus die Einzelwahrscheinlichkeiten?
Wie setzt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit aus den Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen?
kann ich demnach ebenfalls nicht beantworten.
Hast du vielleicht Tipps für mich wie ich die Antwort auf deine ersten beiden Fragen finden kann?

04.10.2012, 12:38

Mazze

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Zitat:

Ich habe leider keine Ahnung wie man diese beiden Faktoren berücksichtigt. Die Grundlagen der Kombinatorik kenne ich ebenfalls nicht, da wir dieses Thema nie behandelt haben. Tatsächlich habe ich den Begriff "Kombinatorik" gestern bend zum ersten Mal gehört.

Dann wäre es vielleicht sogar erst einmal sinnvoll sich in die Grundlagen einzuarbeiten oder?

Ansonsten, mit dem Ausrufezeichen wird der Fakultätsoperator beschrieben. Die Definition ist (etwas lachs)

Es sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} a! = 1*2*3...*a \end{eqnarray*}$ .

Beispiele :

$\begin{eqnarray*} 3! = 1*2*3 = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4! = 1*2*3*4 = 24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5! = 1*2*3*4*5 = 120 \end{eqnarray*}$

usw.

Was die Wahrscheinlichkeiten angeht. Wir ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge (uns ist egal wann wir dass Ass bei den 7 Karten ziehen) und ohne zurücklegen (die Karte die gezogen wird , wird in der aktuellen Ziehung nicht zurück gelegt). Das ist eine Kombination (ungeordnete Stichprobe). Was jetzt noch zu tun ist, ist die Anzahl dieser Kombinationen zu bestimmen. Dafür gilt in diesem Fall die Formel :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei n = 60 und k = 7 (bzw. 6, bzw. 5). Das wäre auszurechnen. Die Wahrscheinlichkeit ist dann die Anzahl der günstigen Ereignisse durch die Anzahl aller Ereignisse. Beachte hierbei aber auch, dass wir die Reihenfolge nicht beachten. Sprich, die Ereignis ABBBBBB und BABBBBB beschreiben das gleiche.

Gesamtwahrscheinlichkeit:

Es seien $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,p_3 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten dass man verliert (also 1 - Gewinnwahrscheinlichkeit). Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass man in drei Ziehungen gewinnt gleich der Wahrscheinlichkeit dass man in irgendeiner Ziehung wenigstens ein Ass zieht. Das Gegenereignis ist, dass man gar kein Ass zieht. Diese Wahrscheinlichkeit ist (unter der Unabhängigkeitsannahme) $\begin{eqnarray*} p_1*p_2*p_3 \end{eqnarray*}$ , daher ist die Gewinnwahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} 1 - p_1 * p_2 * p_3 \end{eqnarray*}$

04.10.2012, 16:47

Chucky00001

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Danke für die Hilfe bisher!

Ich habe jetzt Folgendes gemacht:

Die Chance unter den ersten 7 Karten ein Ass zu ziehen ist:
7*4/60= 0,46 bzw 46%

Beim zweiten und dritten Versuch sind es:
6*4/60= 0,4 bzw. 40%
5*4/60= 0,33 bzw. 33%

Daher ist die Gewinnwahrscheinlichkeit:
1-0,46*0,4*0,33=0,9392 bzw 93,92%

Ich bin mir wegen dem Lösungsweg unsicher, da ich den Fakultätsoperator nicht gebraucht habe - allerdings bin ich mir auch nicht sicher ob ich diesen überhaupt benutzen muss um zur Lösung zu kommen.
Außerdem habe ich noch ein wenig Zweifel an meinem Lösungsweg, da die Wahrscheinlichkeit das Spiel zu gewinnen auf über 100% steigen kann. bzw. wenn ich 15 Karten ziehen darf ist die Wahrscheinlichkeit = 100% und das kommt mir nicht realstisch vor, da sich die Asse ja theoretisch alle in der unteren Häfte es Kartenstapels befinden könnten.

15*4/60

04.10.2012, 16:50

Chucky00001

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NACHTRAG:

Ich möchte den unteren Teil meines Beitrages korrigieren:
Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt (sofern meine zuvor ausgerechneten Wahrscheinlichkeiten stimmen):

1-0,54*0,6*0,67= 0,7829 bzw. 78,29%

04.10.2012, 16:50

Mazze

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Ich hätte wohl dazu sagen sollen dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Binomialkoeffizient ist, also

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}. \end{eqnarray*}$

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