Frage zu Schreibweise bzw. Bedeutung eines Zeichens.

04.10.2012, 14:57

Christian_P

Frage zu Schreibweise bzw. Bedeutung eines Zeichens.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{int}:C^0 [a,b]\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{int}(f):= \int_{a}^{b}f(x)dx \end{eqnarray*}$

Das Integral kenne ich Augenzwinkern

, aber was die Abbildung bedeuten soll, ist mir nicht ganz klar.

Wir brauchen das nur für lineare Algebra, da geht es um lineare Abbildung. Vorher möchte ich aber wissen, was die Zeichen bedeuten.

Ist es die Menge aller stetigen Abbildungen nach R?

Wo könnte ich die Eigenschaften dieser Abb. nachlesen?

lg

04.10.2012, 15:00

tmo

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Das bedeutet einfach nur, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{int} \end{eqnarray*}$ eine Abbildung ist, die eine Funktion auf eine reelle Zahl (nämlich das Integral) schickt.

In der Tat bedeutet $\begin{eqnarray*} C^0[a,b] \end{eqnarray*}$ die Menge aller stetigen Funktionen (auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ).

D.h. genau genommen wird eine stetige Funktion auf ihre Integral geschickt.

04.10.2012, 15:21

Christian_P

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danke sehr!

Ist die Funktion bijektiv?

Kann es ein Integral in $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ geben, dass das Bild mehrerer Funktionen $\begin{eqnarray*} \operatorname{int}(f) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} C^0[a,b] \end{eqnarray*}$ sein kann?

04.10.2012, 15:24

tmo

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Die Abbildung ist sowas von nicht bijektiv Big Laugh

Du kannst doch bestimmt schnell 2 Funktionen angeben, die das selbe Integral haben.

Und wenn wir schon in der linearen Algebra sind:

Das ist ja eine lineare Abbildung (sollst du wahrscheinlich als Aufgabe zeigen). Welche Dimensionen haben denn die beiden Vektorräume, die da stehen? Die müssten ja gleiche Dimension haben, wenn die Abb. bijektiv wäre.

04.10.2012, 15:34

Christian_P

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Das hab ich mir schon gedacht! smile

stetige Funktionen sind Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\times \mathbb{R}=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ Wenn man sie als Paare $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$ auffasst.

also $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ja, das sollen wir zeigen.

zwei Funktionen mit gleichem Integral, hmmm

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} 1 dx = 1 =\int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 dx \end{eqnarray*}$

vielleicht diese, oder müssen die Grenzen gleich sein?

lg

04.10.2012, 15:41

tmo

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Da bringst du aber was durcheinander. Man kan eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mengentheoretisch als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auffassen.

Das heißt aber nicht, dass der Raum aller stetigen Funktionen der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wäre. Viel mehr ist es so, dass dieser Raum unendlichdimensional ist.

Und zu deinem Beispiel: Die Integrale sind zwar gleich, aber a und b sind in der Aufgabe ja fest. Du musst dir also schon ein Beispiel überlegen, bei dem die Grenzen fest sind. (Mit Konstanten wird es also nicht klappen. Das liegt natürlich daran, dass die Menge aller konstanten Funktionen nur eindimensional ist.

04.10.2012, 15:59

Christian_P

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ok.

Wäre es schwer, die nichtbijektivität durch die Mengen zu zeigen?

Das Gegenbeispiel wäre da sicher einfacher, oder?

Ich versuch mal zu zeigen, das es eine lineare Abb. ist:

1.) Additivität:

seien $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} C^0[a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig.

dann gilt

$\begin{eqnarray*} \operatorname{int}(f+g)=\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx =\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx = \operatorname{int}(f)+\operatorname{int}(g) \end{eqnarray*}$
Rechengesetzte für Integrale.

2.) Homogenität:

seien $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} C^0[a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig und ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ frei wählbar, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \operatorname{int}(\alpha f)=\int_{a}^{b}\alpha f(x)dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx = \alpha \operatorname{int}(f) \end{eqnarray*}$
Rechengesetzte für Integrale.

damit ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{int} \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

04.10.2012, 16:04

weisbrot

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Zitat:

Die müssten ja gleiche Dimension haben, wenn die Abb. bijektiv wäre.

meinst du vllt eher "isomorph"? ansonsten stimmt das nämlich nicht (denn eine bijektion muss ja nicht notwendig vektorraumeigenschaften berücksichtigen, hat also mit der dimension erstmal nichts zu tun). z.b. kann man $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bijektiv aufeinander abzubilden.
lg

04.10.2012, 16:11

tmo

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Wenn du mal genau guckst, siehst du, dass ich vorher erwähnt habe, dass die Abbildung linear ist.

@Christian: Ja, das passt so.

Naja es ist beides nicht schwer.

Für das Gegenbeispiel kannst du z.B. für eine Funktion die Nullfunktion nehmen. Und für die andere Funktion denkst du dir halt eine Funktin aus, deren Integral auch 0 ist.

Und für den Beweis über die lineare Algebra müsstest du ja nur zeigen, dass der Raum der stetigen Funktion mind. 2-dimensional ist, d.h. 2 Funktionen angeben, die nicht linear abhängig sind.

04.10.2012, 16:21

weisbrot

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hast du, allerdings, und zwar direkt im satz davor, Big Laugh

sry. lg

04.10.2012, 16:33

Christian_P

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Aha, wenn also die Funktion eine lineare Abb. ist, dann kann sie nur bijektiv sein, wenn Urbildmenge und Bildmenge gleicher Dimension sind?

Das $\begin{eqnarray*} \operatorname{int} \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, kann man getrost vorraussetzten, nicht?
$\begin{eqnarray*} \forall \alpha \in\mathbb{R} \; \exists f\in C^0 [a,b]: \int_{a}^{b}f(x)dx=\alpha \end{eqnarray*}$

Danke für die Tipps, das werde ich mir nochmal in Ruhe überlegen. Du hast mir sehr geholfen!

lg

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