Riccati-DGL |
| 04.10.2012, 15:16 | ILoveHatingMath2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Riccati-DGL Hallo zusammen, folgende Aufgabensstellung ist mir bei meiner Klausurvorbereitung untergekommen: a) Bestimmen Sie eine spezielle Lösung der Differantialgleichung y'(x) = x² - 2xy(x) + [Y(x)]² die ein Polynom von Grad eins ist. b) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangwertproblems y'(x) = x² - 2xy(x) + [Y(x)]², y(0) = 0 Meine Ideen: zu a) würde mir einfallen y(x) = x + 1 Ist das Richtig? zu b) eigentlich nur, dass es eine Riccati-DGL ist. Nach meiner Formelsammlung kann man sie in ein lineares DGL umformen. Ist das dann schon die Lösung des Anfangwertproblems, oder was ist damit gemeint? WolframAlpha gibt eine konkrete Lösung für y(x) an, wie komme ich dahin? Denn wenn ich die lineare DGL zu die man die Riccati-DGL umformen kann auflöse komme ich nicht auf die Lösung von WolframAlpha, was doch eigentlich der Fall sein sollte, oder? Vielen Dank im Voraus Dominik |
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| 04.10.2012, 16:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei springt Substitution geradezu ins Auge... |
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| 04.10.2012, 19:44 | ILoveHatingMath2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah ja das hat mir weitergeholfen. Allerdings muss ich mich auf meinen Weg verrechnet haben, da mein Ergebnis nicht mit dem von WolframAlpha übereinstimmt. Hier mein Rechenweg: - y' = (y - x)² - u = y - x - u' = y' - 1 - y' = u' + 1 - also: u' = u² - 1 - I[du/(u²-1)] = I[dx] - 0,5(ln((u+1)/(u-1)) = x - u = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) - nach der Resubstitution (u = y - x) - y = (e^(2x) + 1)/(e^(2x) - 1) + x WolframAlpha sagt aber: y = (c*e^(2x) + 0,5)^(-1) + x - 1 Wo steckt der Fehler? |
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| 04.10.2012, 20:01 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwischen den beiden Zeilen ist eine Integrationskonstante abhanden gekommen... |
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| 04.10.2012, 20:09 | ILoveHatingMath2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das Ergebnis lautet dann: y = (e^(2(x+c)) + 1)/(e^(2(x+c)) - 1) + x Was aber nicht dem Ergebnis von Wolfram Alpha entspricht. Da muss doch noch irgendwo ein anderer fehler sein oder? |
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| 04.10.2012, 20:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist dasselbe Ergebnis - wenn man leicht umformt und die Integrationskonstante reparametrisiert. EDIT: Ach ja, ein Betrag war bei deiner Integration auch verloren gegangen. |
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| 04.10.2012, 20:20 | ILoveHatingMath2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Cool, vielen Dank. Hätte man auch irgendwie schneller über einen anderen Lösungsweg drauf kommen können? Denn in der Teilaufgabe davor sollte man eine spezielle Lösung finden. Diese wäre doch y(x) = x+1 oder? Dadurch wäre der Lösungsweg der Riccati-DGL anwendbar gewesen, oder? |
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| 05.10.2012, 08:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder , was im substituierten Problem den Lösungen entspricht. Diese beiden Lösungen von sind beim Übergang zu verloren gegangen, in einer Sonderfallbetrachtung muss sowas auffallen, wenn man tatsächlich alle Lösungen finden will! |
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