Nullstellen Polynom

04.10.2012, 18:36

Monoid

Nullstellen Polynom

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} f(X) \in R[X] \end{eqnarray*}$ , endlichen grades, $\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\{x \in R | x \text{Nullstelle} f(X)\}| \leq \deg(f(X)) \end{eqnarray*}$ .

Ich will das beweisen.

Nun steht in meinem skript, dass folgende zerlegung möglich ist: $\begin{eqnarray*} f(X)=g(X)(x-\alpha) +y(X) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(X),y(X) \in R[X] , \deg(y(X))< 1,\alpha \end{eqnarray*}$ nullstelle f(X). Wieso $\begin{eqnarray*} (x-\alpha) \end{eqnarray*}$ ? Es muss doch ein Polynom b(X) sein?

05.10.2012, 07:17

Monoid

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Das es höcchstens ....

Ja y(X) hat denngrad 0. Aber wieso (x-alpha)?

05.10.2012, 08:27

ollie3

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hallo Mmm,
ja, man braucht das für den beweis, wenn man ein polynom n-ten grades durch (x-alpha)
dividiert, hat man ein polynom (n-1)ten grades, und weil man das nur n mal hintereinander machen
kann, kann ein polynom n-ten grades höchstens n verschiedene nullstellen haben.
gruss ollie3

05.10.2012, 09:21

tmo

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Bin ich der einzige, der sich ein bisschen an der Bezeichnung $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ für den Grunddring(?) aufhängt?

Denn damit die Aussage gilt, muss R zumindest mal ein Integritätsbereich sein. Meistens formuliert und beweist man die Aussage für Körper. Dass es auch für Integritätsbereiche gilt, folgt durch Übergang zum Quotientenkörper.

Klassiches Gegenbeispiel für zu "schwaches" R wäre $\begin{eqnarray*} x^2-1 \in \mathbb Z/2^r \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} r \geq 3 \end{eqnarray*}$ , wie hier ausführlich diskutiert.

05.10.2012, 09:59

Monoid

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Zitat:

Original von ollie3
hallo Mmm,
ja, man braucht das für den beweis, wenn man ein polynom n-ten grades durch (x-alpha)
dividiert, hat man ein polynom (n-1)ten grades, und weil man das nur n mal hintereinander machen
kann, kann ein polynom n-ten grades höchstens n verschiedene nullstellen haben.
gruss ollie3

Stimmt danke!

05.10.2012, 10:53

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Bin ich der einzige, der sich ein bisschen an der Bezeichnung $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ für den Grunddring(?) aufhängt?

Denn damit die Aussage gilt, muss R zumindest mal ein Integritätsbereich sein. Meistens formuliert und beweist man die Aussage für Körper. Dass es auch für Integritätsbereiche gilt, folgt durch Übergang zum Quotientenkörper.

Ja, in dem Skriptum, auf das er sich hier bezieht, wird ja hier (5.1.3 auf Seite 112) auch ein Körper vorausgesetzt... Keine Ahnung, warum er diese wichtige Voraussetzung unterschlägt, auf jeden Fall zeugt schon dieses kleine Detail von einem Fehlen ganz elementarer Grundkenntnisse... unglücklich

05.10.2012, 10:59

Monoid

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Ich weiß was ein körper ist. Das R ein Körper sein muss steht ja auch im Skriptum.

05.10.2012, 11:02

Iorek

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Zitat:

Original von Mathemathemathe
Das R ein Körper sein muss steht ja auch im Skriptum.

Es ist ja schön, dass es in deinem Skriptum steht, das haben wir aber nicht vorliegen. Und wir wissen auch nicht immer, dass du dich nur auf dieses Skriptum beziehst. Und so wie du die Aufgabe in deinem Eingangspost formuliert hast, ist es eben falsch, wie tmo mit einem Gegenbeispiel gezeigt hat, von daher ist es nicht nur hilfreich sondern notwendig so genau wie möglich alle Voraussetzungen zu benennen.

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